阿文這十幾年來，分別在幾個不同大學開了十八次與量子場論相關的課程，雖然不敢自稱是「量子場論」的專家，但若自稱是「量子場論教科書」的專家，勉勉強強還算得上吧。市面上，量子場論的教科書簡直就像是天上繁星，海灘細沙那樣地多，阿文甚至懷疑，是不是所有開了量子場論這門課的老師，一開完課都寫了一本! (是說阿文也的確自己很想寫一套啦)。雖然教科書這麼多本，令人眼花撩亂，每一本打開來，又好像大同小異，但是一旦拿到課堂上使用，好壞可是高下立判，有些書讓人感嘆天下文章一大抄，有些書卻是令人眼睛為之一亮，驚呼連連。甚至還有些書，簡直像天書一樣，明明講的是我已經知道的材料，但是拜讀之後卻是丈二金鋼摸不著頭腦，完全墮入五里霧中，往往是過了好些年再回頭看，才知道作者的微言大義。原本這些個人的體驗，只能在茶餘飯後拿來閒磕牙，但是有幾次被熱心的學生問到相關的問題，所以阿文就來野人獻曝一番，從我過去教學的經驗來分享我對那些量子場論教科書的印象，希望對有心學習量子場論的學生能有些幫助。
首先要介紹的是三本以路徑積分公式為主要內容的教科書。分別是皮埃爾·拉蒙（Pierre Ramond，1943 —）的《場論:現代入門Field Theory: A Modern Primer》，羅威爾·S·布朗(Lowell S. Brown 1934–2023)的《量子場論: Quantum Field Theory》還有一本是較少人知道的英國物理學家雷·約翰·里弗斯(Ray John Rivers 的《量子場論的路徑積分方法Path Integral Methods in Quantum Field Theory 》，這三本書各有千秋，拉蒙是開創弦論的大家，布朗則是在天文物理、粒子物理，乃至於核子物理、原子物理都有卓越貢獻的全方位物理學家，里弗斯則是凝態物理學家，但是最近成了研究複雜系統，甚至跨足到考古學的奇人。他們書如其人，各自顯現獨特的風格，就讓阿文一本本說給各位聽吧。
我們先從其中最老的一本講起:拉蒙的《場論:現代入門》1981年出版，但是阿文當年讀的是1989年出的第二版，阿文初次修量子場論是在1990年秋天，所以當年算是新書。這本書只有329頁，字體也沒有特別小，但是稱得上短小精幹，對初學者來講算得是相當辛苦的「啟蒙書」，不過話說回來，這辛苦絕對值得，因為拉蒙身為弦論的開創者，選擇題材的眼光十分獨到，而且討論的深度也比一般的書更深邃，光看開頭第一章就能感受到作者的功力，這一章拉蒙從羅倫茲群與彭加略群的表現理論著手，一口氣就給出整數自旋與半整數自旋的古典場，以及如何建構它們的作用量。短短四十四頁就把古典場論給搞定了，尤其厲害的是他還把Weyl spinor，Majorana Spinor 和 Dirac spinor 的關係講得清清楚楚，還特別提到在四維歐氏空間要建構Majorana Spinor 時會出問題，而且還加碼介紹如何建構自旋3/2的Rarita-Schwinger spinor， 以及自旋為2的張量場的作用量，這些都是拉蒙的獨門寶。最後還用了六頁介紹擁有超對稱古典場作用量呢! 這個開場可真華麗呢。
接下來第二三四這三章是一個單位，拉蒙從量子力學的路徑積分公式，一躍就跳到純量場的路徑積分公式，而且一下子就將純量場的 $\lambda\phi^4$ 理論的費曼規則，一路算到兩個迴圈的費曼圖，連相關的再重整化過程都處理掉了。這算是量子場論的標準教材，但是拉蒙特別強調「等效作用量」（Effective Action），它是古典場論中位能的量子對應，也是「單粒子不可化約」（1PI，切斷一條內腳整個費曼圖會分成獨立的兩個費曼圖）的費曼圖總和。拉蒙在講解再重整化時還特地用「等效作用量」來講，這當然有他的深意，可惜的是拉蒙這本書並沒有去碰「自發對稱破壞」這個主題，再加上拉蒙也沒有說明所有連通的費曼圖可以化約成以「等效作用量」產生的頂點（vertex）構成的樹枝圖，換言之，只要「等效作用量」內的發散項可以被處理掉，那麼所有費曼圖的發散都能被處理這件事，所以一般讀者也許沒有掌握到這樣鋪陳背後的用意。不過拉蒙在這裡露了一手絕活，就是所謂 Zeta function 正則化，它的特色是不必畫費曼圖也能得到一樣的結果！拉蒙還加碼算了有限溫度下的 $\lambda\phi^4$ 的等效作用量。在第四章後半拉蒙也簡短地介紹了費曼圖的解析性質以及再重整化群（Renormalization Group Equation），他採用的是蓋爾曼-羅（Gell-Mann-Low equation）方程式。再重整化群中最重要的結果，像是耦合強度會隨著能量動量改變，也就是所謂的跑動的耦合係數（running coupling constant），特別是當能量動量變大，耦合係數變小的漸進自由（asymptotic freedom），此外，再重整化群中貝他函數的零點，也就是固定點的物理涵義，當然都有算是詳盡的討論。這些只用了一百二十五頁，可以說是麻雀雖小，五臟俱全了。
接下來的一章是量子費米場的路徑積分，標準的作法就是引入Grassmann 數，但是拉蒙延續第一章的討論，分別處理Weyl spinor，Majorana spinor以及Dirac spinor 的量子化並推導出相應的費曼規則，當然拉蒙不忘提到在四維歐氏空間要量子化Weyl spinor會遇到困難，要跨越這個困難，要嘛跑去高維歐氏空間，要嘛要多加一付一模一樣的Weyl spinor，這個主題可以說在別的書看不到的。此外，拉蒙還用了一個非常漂亮的技巧說明了費米場的迴圈需要多一個負號，這件事在一般正則量子化的程序中是歸咎於費米場算子滿足反對易關係，但是要在路徑積分的架構內解釋清楚可不容易，事實上阿文把這當作判斷教科書良窳的標準之一呢。這一章最後拉蒙建構出一個純量場與一個旋量場，兩者存在湯川耦合的理論，並且再度使用Zeta function 正則化得到包含單迴圈量子修正的等效作用量，這個結果當然又是拉蒙程的獨門絕活!
再來一章則是規範場與重力場的路徑積分。拉蒙還是從 Weyl spinor 出發，將 Weyl spinor 的相位變成時空座標函數後引入自旋為 1 的規範場，這樣的規範理論自然是手徵規範理論，只要將一個 Weyl spinor 推廣到包含 $N$ 個 Weyl spinor 分量的量子場，自然得到包含 $N^2-1$ 個規範場的 $SU(N)$ 的手徵規範理論。拉蒙也將類似手法用到包含 $N$ 個實純量場分量的量子場，輕鬆寫出包含 $N(N-1)/2$ 個規範場 $SO(N)$ 的規範理論。但是拉蒙更進一步告訴讀者，這種建構叫基本表現，但是事實上還有別的表現，舉 $SO(N)$ 為例，除了 $N$ 個實純量的建構化，你還可以用一個 $N \times N$ 的實反對稱矩陣來表示。他還用了 $SO(10)$ 當作實例，對初學者而言這些材料感覺純粹只是拿來嚇人用的，其實 $SO(10)$ 是粒子物理學家拿來建構統一強作用力、弱作用力與電磁作用力的候選理論，最誇張的是拉蒙利用 $N$ 個 Majorana spinor 來建構實扭對稱群 $Sp(2N, \mathbb{R})$ 的規範場論，不過要小心，拉蒙把它寫成 $Sp(2N)$，但是事實上 $Sp(N)$ 一般是指緊扭對稱群，是四元數上的么正群。有時寫成 $USp(2N)$，意思完全不同，請各位看官要小心分辨。拉蒙還提到五個例外群，$G_2, F_4, E_6, E_7, E_8$，但是它們寫不出一般的動能項與質量項，所以沒有深論。當然這些只有在拉蒙的書才有。後續兩節建構非交換群的規範場的作用量，並討論了規範場的拓樸性質，像瞬息子（Instanton）也佔了些篇幅。最後一節則是罕見地用了十六頁來處理重力場。其實就是用 tetrad formalism 來表達的廣義相對論，有時也稱為 vierbein 公式。這個架構的好處是很容易將旋量場安裝到彎曲時空上，不過認真說來，這裡呈現的理論是卡當-愛因斯坦理論（Einstein-Cartan theory），與一般的愛因斯坦原先的廣義相對論不同的是，卡當-愛因斯坦理論沒有要求仿射聯絡（affine connection）必須是對稱的。當然這裡討論的只是古典重力場，眾所皆知，直接將重力量子化會得到不可再重整的理論，對一個基本理論而言，這是無法接受的。拉蒙當然會提到創造弦論的主要動機，正是希望能寫出成功的量子重力理論，所以這個段落也只有拉蒙會放在量場教科書裡。
再來兩章是自旋為一的規範場的路徑積分與量子化。這兩章的寫法是把規範場當作束縛系統，所以一出手就是束縛系統的漢密爾頓力學，然後使用帕松括弧，並且假定這裡的規範條件是所謂的「第二類束縛」，所以我們可以利用規範條件將系統的相空間降兩個維度，在這裡有點違反直觀，我們可能以為規範條件只會讓相空間限制在滿足規範條件的超平面上，但實際上由於在漢密爾頓力學中，少了一個位置的自由度，相應的動量也會被可以被其他自由度取代，整個過程會多出一個雅可比行列式!把握這個關鍵，類比於古典力學的束縛系統，很容易就能得到規範場的路徑積分。這個作法雖然感覺十分複雜，但是它的好處是能夠一下子就從可交換群的規範場推廣到非交換群的規範場!這一章最大的彩蛋是針對Gribov Problem 的討論。理想上，滿足規範條件的相空間裡每一個點都是惟一的，但是在大部分「好用的」規範條件下，還是會有許多點是可以透過規範變換聯結彼此的，也就是說，物理上是等價的，那這樣不就會有double counting 的問題了嗎?這個問題在非交換群的規範場理論特別棘手，最後拉蒙特別提到就算在軸狀規範(例如某個分量的規範場為零)看起來沒有問題，事實上，在空間的邊界上，這個問題一樣跑不掉。這些討論幾乎不會出現在別本教科書上(除了一本例外!阿文後面的文章會提到)。由此可知拉蒙把這本教科書的天花板設得多高了。這章的結尾是一般常見的Faddeev-Popov 的方法，那就是標準的教材了。
最後一章是規範場的再重整化，這一章是標準教材，但是拉蒙一出手就是SU(N)規範場，而且整個計算都放在歐氏空間上，而且採用羅倫斯規範，所以要引入所謂的Faddeev-Popov ghost 場。拉蒙提到在軸狀規範中不必引入Faddeev-Popov ghost 場，但是規範場的傳播子變成非常複雜，得不償失。講到規範場當然要講Ward identity，但是拉蒙卻用了Becchi、Rouet、Stora創造的BRS變換來證明，乍看之下簡直是用牛刀殺雞，但是過了幾節牛就被牛刀殺了。因為過了幾節就是SU(N)規範場的Slanov-Taylor 恆等式。這邊拉蒙處理了量子電動力學與SU(N)規範場的再重整化與相應的跑動耦合係數(running coupling constant) 。若說有什麼遺憾的話，那就是有名的蘭姆位移在本書只是說說而已，沒有詳盡的算出來。不過拉蒙把他的重心擺在最後一節，就是赫赫有名的ABJ 手徵異常(chiral anomaly)，也就是包含無質量的費米子的手徵規範場作用量在古典層次擁有手徵對稱，但是在正則化後對稱會被破壞。拉蒙指出問題出在相應的路徑積分公式在作手徵變換時會出現不尋常的雅可比因子，然後拉蒙再一次施展Zeta function 正則化的魔法，並且討論了規範場的拓樸性質與ABJ 手徵異常的關係。接著拉蒙計算有名的三角圈圖再一次得到先前用Zeta function 正則化的結果。拉蒙並沒有使用一般教科書用的包立-維拉爾正則法，而是到高維度空間計算再回到四維空間。然而要在高維度空間處理手徵需要特別的處理，拉蒙用的是特胡夫特('t Hooft)與維特曼(Veltman)的方法，這也是通常教科書不會提到的題材。最後拉蒙也討論了非交換群規範場的相關異常，甚至提到了Wess 與Zumino 提出的一致性條件。他也提到consistent anomaly 與 covariant anomaly 的差異! 當然 Anomaly 是個大學問，只用一節是涵蓋不了的，所以拉蒙請讀者去讀專著，但是對初學者而言，資訊量已經多到吃不消了。
總體看來，拉蒙的確以路徑積分架構來講量子場論，而且講到淋漓盡致，而且有許多他的獨門絕活，真要說有什麼缺點，除了第三章作ħ展開卻事先把ħ取成1有點失策這種小事之外，最大的問題就是拉蒙惜字如金，對初學者來講有點難以消受，另一個問題是有些主題沒有涵蓋到，最大的遺憾是沒提到自發對稱破壞，也沒有包含算子乘積展開(OPE)等題材。不過拉蒙還有一本「超越標準模型的旅程Journeys Beyond The Standard Model」可以補其不足。總體而言，拉蒙這本可謂量子場論的極品，借用後人品評史記，漢書的說法「遷文直而事覈，固文贍而事詳」，把拉蒙的書比作史記，布朗的書比作漢書，應該還算貼切吧。
接下來我們來談談羅威爾·S·布朗的《量子場論: Quantum Field Theory》，這本書出版於1992年，整本書長達542頁。整整多了兩百多頁，但是本書沒有納入非交換群規範場，各位可以想像稱之為「文贍而事詳」毫不為過。在書後的參考文獻中，布朗說拉蒙的書與他這本精神最為相近，主要也是以量子場論的路徑積分公式為骨幹，但是顯然內容要「豐腴」多了，布朗的書不僅包含了許多拉蒙沒講的主題，就是相同的主題他也添加許多材料，有些材料在別的書可是找不到的，所以篇幅雖然龐大，倒也不失為值得一讀的好書，而且一般說來，布朗對初學者比較友善。就讓我照著拉蒙的順序來對照布朗的書，好好做番比較。
拉蒙第一章從羅倫茲群的群表現開始，布朗則是放在第七章。與拉蒙不同的是，布朗專注在自旋二分之一的旋量上，而且只討論閔考夫斯基空間。與拉蒙一樣，他也詳盡地介紹了三種旋量，而且更為具體，舉例來講，他花了不少篇幅在γ矩陣上，特別是Majorana γ矩陣。與拉蒙不同的是布朗會斟酌情形將正則量子化搬來用，像是推導費米子的傳播子時，他就毫不猶疑地用上費米場的創生毀滅算子，對學過正則量子化的讀者當然很方便。另外一個與拉蒙的書不同之處是布朗把許多有趣甚至是重要的題材放到「習題」裡面去，像在第七章，他把高維度的γ矩陣，費米子的形狀因子，「真空電荷」等這些獨門的題材都放在「習題」裡，所以對不想做習題的偷懶學生(跟教授)可就相當不方便了~
接著是量子力學的路徑積分公式，拉蒙放在第二章，布朗則是放在第一章，而且內容足足多了好幾倍呢。除了標準的教材之外，布朗還詳盡地把簡諧振子的振幅用路徑積分公式做出來，此外布朗還介紹了「同調態coherent state」，就是簡諧振子的創生與毀滅算子的本徵態，用「同調態」做路徑積分特別簡單，在這一章的「習題」裡，布朗放了許多處理行列式的獨門絕活，又是個考驗讀者的關卡!
照著拉蒙的順序，接下來應該是純量場的路徑積分公式，但是布朗把純量場放在第三章，第二章則是硬生生插進了一章「多粒子系統」，這一章基本上是非相對論性的量子場論。一般的做法是將古典力學推廣到古典場論，再將古典場論的場加以傅利葉分解後加以量子化，但是布朗則是直接從非相對論性量子力學直接推廣成N個全同粒子的量子力學，此時引入對稱與反對稱的波函數，好處是讓直接引入滿足「對易關係」與「反對易關係」的創生毀滅算子，由此導出玻色場與費米場的路徑積分公式。接著布朗把路徑積分的生成函數轉換成統計物理的配分函數（Partition function），玻色場與費米場則是對應到對稱邊界條件與反對稱邊界條件，與拉蒙不同的是，布朗接下來就引進了等效作用量，並且由此探討了自發對稱破壞。整個一章可以說是本書最特殊的一章，採取的理路與絕大部分的教科書都不相同，阿文第一次讀的時候，甚至乾脆整章跳過了呢，持平來講，布朗這一章還是值得細細玩味，就算是有志於粒子現象學的學子，也該對量子場論有更寬廣的看法，對物理整個架構也會有更富彈性的見解。所以阿文鼓勵學生還是要把這章讀好讀滿。
布朗在第三章回到純量場的量子化與再重整化，不過與拉蒙不同的是他還穿插了一些正則量子化的簡單介紹。這一章的亮點還是藏在章後的習題裡，像是卡西米爾效應（Casimir effect）就是一般教材書較少提到的有趣主題。
布朗的書還有四章，還有里弗斯的那本都還沒介紹，由於篇幅限制，這些就留待下一篇囉，敬請期待!
