在我個人的印象裡，理工類的不同學科最常出現的同類型數學公式就是本徵值問題 (eigenvalue problem)。這些具有相同數學描述的理工問題通常是線性的 (linear)，意思是一個看似複雜的物理量 (例如聲波的振幅，光的偏振，量子系統的狀態，空腔中的電磁場)可以拆解為許多基本模式 (modes) 的疊加 (superposition)，而那些最基本的模式就是某個代表該系統的算符 (operator) 或矩陣 (matrix) 的本徵向量 (eigenvectors) 或本徵態 (eigenstates)。

若以 $A$ 表示本徵值問題中的矩陣，$v$ 表示本徵向量，$\alpha$ 表示本徵值 (eigenvalue)，那麼本徵值問題就寫成

$$Av = \alpha v.$$          (1)

方程式的左邊代表矩陣 $A$ 乘以行向量 (column vector) $v$，將它轉換為另一個行向量 $v' = Av$。這個新向量 $v'$ 通常與 $v$ 有不同的長度與方向。解本徵值問題，就是找出那些特殊的 $v$，使得 $v' = Av$ 與 $v$ 平行 (同向或反向)，而當這件事發生時，$A$ 對 $v$ 的 “作用” 可以被一個數字 $\alpha$ 取代，相當於只是對 $v$ 向量作伸縮與正反向的變換。在更抽象的情況中，$v$ 可以是複數向量 (complex vector)，而 $\alpha$ 也可以是複數 (complex number)。

剛體動力學 (rigid body dynamics) 的數學描述就是上述公式的一個具體應用。當一個剛體以角速度 $\omega$ (angular velocity) 旋轉時，剛體的角動量 $L$ (angular momentum) 與角速度的關係是

$$L = I\omega,$$          (2)

其中 $I$ 是代表轉動慣量 (moment of inertia) 的矩陣。藉著解以下本徵值問題

$$I\omega = I\omega,$$          (3)

就會找到三個慣量主軸 (principal axis) $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$，以及關聯於此三個主軸的轉動慣量本徵值 $I_1$, $I_2$, $I_3$。對於不是剛體的系統，只要具有不隨時間變動的質量分布，上述 (2) 與 (3) 式依然適用。很多人在學生時代都曾在學生宿舍使用過脫水機，相信大家都遇過衣服在脫水槽裡放得不均勻，導致脫水槽晃動並發出噪音的現象。這情況表示脫水槽—衣服系統的轉動慣量主軸並不在脫水槽的轉軸上，角動量與角速度也不平行，因此要讓脫水槽穩定旋轉需要額外的力矩 (torque)，而這就是發出噪音的原因。這時只要把衣服的擺放方式重新調整得均勻一些，使轉動慣量的一個主軸剛好在脫水槽的轉軸上，角動量與角速度就平行了，脫水槽也不再發出噪音。此時的角速度就是轉動慣量矩陣的一個本徵向量。晶體光學 (crystal optics) 裡也有一個與 (2) 式同類型的方程式，那就是以下聯繫電位移 (electric displacement) $D$ 與電場 $E$ 的本構關係 (constitutive relation)：

$$D = \varepsilon E.$$          (4)

藉著解介電張量 (dielectric tensor) $\varepsilon$ 的本徵值問題，就可以把座標軸定在主軸方向，大大簡化對傳播於各向異性介質 (anisotropic medium) 中的偏振 (polarized) 光波的探討。

除了矩陣的本徵值問題之外，微分算符 (differential operator) 的本徵值問題或許才是物理教科書裡的最常出現的形式。比如在一維 (one dimensional) 的量子力學問題裡，動量 $\hat{p}$ (momentum) 的算符寫成 $\hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$，而動量的本徵值問題寫成

$$\hat{p}\,\phi(x) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \phi(x) = p\,\phi(x).$$          (5)

其中 $\phi(x)$ 是本徵函數 (eigenfunction)，而 $p$ 是本徵值。一個更重要的算符是哈密頓量 (Hamiltonian) $\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(x)$，也就是能量算符，$V(x)$ 代表位能 (potential energy)。$\hat{H}$ 的本徵值 $E$ 就是量子系統的能量，本徵值方程式

$$\hat{H} \, u_n(x) = E_n \, u_n(x).$$          (6)

就是不含時薛丁格方程式 (time-independent Schrödinger equation)。此處 $E_n$ 是第 $n$ 個能階 (energy level) 的能量，$u_n(x)$ 是其對應的本徵函數。解 (6) 式可以得到量子系統的能譜 (energy spectrum) 與本徵態 (即以 $u_n(x)$ 表示的量子態)，而這些資訊可以用來決定此量子系統會如何隨時間演化。事實上，量子系統的演化方程式是含時薛丁格方程式 (time-dependent Schrödinger equation)

$$\hat{H} \, \psi(x,t) = i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(x,t),$$          (7)

而滿足此方程式的任意波函數 $\psi(x,t)$ 可以用 (6) 式解出的能譜與本徵態展開

$$\psi(x,t) = \sum_n C_n \, u_n(x) \, e^{-iE_n t / \hbar}$$          (8)

展開係數會被初始波函數 $\psi(x,0)$ 完全決定。讀者在這段描述中應可理解為何 (6) 式這個本徵值問題如此重要。

像 (6) 至 (8) 式這類 “本徵值問題的解決定了系統行為” 的概念並不限定於量子力學系統。古典力學的耦合振動系統、聲學、彈性力學、電磁波、光波導系統、固態/凝態物理、晶體光學、光子晶體，甚至是量子場論，都有類似的概念。這些領域裡決定系統行為的方程式或許看起來不一樣，但都可以經由某些條件將原來的方程式轉換為決定某種 “譜” 與基本模態的本徵值方程式。一旦弄清楚了這些譜與模態，就可以知道給定的激發源 (source) 會激發出系統的哪一些模態，且這些被激發出來的模態會表現出怎樣的物理現象。以固態物理的能帶理論 (band theory) 為例，考慮的是在空間上有週期性的位能的系統，亦即哈密頓量 $\hat{H}(x+a) = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(x+a) = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(x) = \hat{H}(x)$ 具有空間上的週期性 (為簡單起見，以一維系統為例，週期為 $a$)。這樣的系統解出的能譜既不是像束縛態 (bound state) 粒子的離散能譜 (discrete spectrum)，也不是像自由粒子 (free particle) 的連續能譜 (continuous spectrum)，而是介於兩者之間的能帶結構 (band structure)。每個能帶裡的能量分布是連續的，而相鄰兩能帶之間夾著能隙 (band gap)。不誇張地說，人們是在弄清楚這些能帶結構，以及電子如何填入能帶之中以後，才真正理解了導體、絕緣體，以及半導體的差別。上世紀 90 年代後興起的光子晶體研究，也是奠基於類似的觀念，差別只在電子被光子取代，而週期的位能被週期分布的光學材料取代。

前面提到的各種來自物理系統的本徵值問題中的矩陣或算符，經常都是厄米的 (Hermitian)，這是因為厄米算符的本徵值一定是實數，而本徵態一定彼此正交，並構成完整的基底 (basis)，可以疊加出系統的任意狀態。在量子力學裡，一個可觀察量 (observable) 的算符用來代表對該物理量的測量。量子力學斷言，對任意一個量子態進行可觀察量 $A$ 的測量，會使該量子態隨機的塌縮 (collapse) 至 $A$ 的一個本徵態，而測量值就是本徵值。由於測量值都是實數，因此量子力學中的可觀察量算符都被假定為厄米算符。近年的非厄米物理 (non-hermitian physics) 研究，就是藉著打破這個 “厄米教條” 而發展出來的新興研究領域。這個教條一旦被打破，從前覺得沒有意義或是不該討論的現象就找到了被研究的動機，並得到了不少有趣的結果。

在結束這篇文章之前，我想請讀者自己試著解二維旋轉矩陣

$$R = \begin{bmatrix}\cos\theta & \sin\theta \\-\sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$$          (9)

的本徵向量。當你知道它們就是光的兩種圓偏振態 (circularly polarized states) 時，可能不會太驚訝。