要從已知的古典力學公式得到對應的量子力學描述時，一個最簡單快速的方法就是將哈密頓量 (Hamiltonian) 中的動力學變量 (dynamical variables) 替換成對應的算符，這樣就可以得到哈密頓算符 (Hamiltonian operator)，再代入薛丁格方程式 (Schrödinger equation)

$$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H}\psi.$$                                                                         (1)

在沒有磁場的時候，哈密頓量就是簡單的動能與位能相加。此時動量算符 (momentum operator) 就是 $\hat{p} = -i\hbar\nabla$，而它的古典力學對應就是 $mv$，其中 $m$ 是粒子質量而 $v$ 是粒子的速度。在有磁場存在的時候，描述一個帶電粒子的哈密頓算符裡的 $-i\hbar\nabla$ 會被 $-i\hbar\nabla-q\mathbf{A}$ 取代，其中 $q$ 是這個粒子的電荷，而 $\mathbf{A}$ 是向量勢 (vector potential)。如果除了電磁力沒有其它作用力，而 $\phi$ 是純量勢 (scalar potential)，薛丁格方程式就寫成

$$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \frac{1}{2m} (-i\hbar\nabla - q\mathbf{A})^2 \psi + q\phi\psi.$$                             (2)

      或許有部分的讀者會對 $-i\hbar\nabla-q\mathbf{A}$ 這個組合感到奇怪，而不知道它究竟是什麼意思。費曼 (Richard P. Feynman) 在「費曼物理講義」第三卷的最後一章 (ch.21) 第三節“兩種動量”裡對此有一個有趣的分析。他考慮一個在螺線管 (solenoid) 附近運動的帶電粒子，當磁場還不存在時，$\mathbf{A}=0$。假設在極短的一瞬間 $\delta t$ 於螺線管中突然加入一個不為 $0$ 的均勻磁場 $\mathbf{B}$，那麼在螺線管附近的空間也會同時 (因為光速非常快，可以暫時忽略光速為有限的事實) 生出不為 $0$ 的 $\mathbf{A}$ 場。根據法拉第的電磁感應定律，在螺線管外會有一個很大的感應電場 $\mathbf{E}=-\partial\mathbf{A}/\partial t$ 作用於電荷，而電荷在 $\delta t$ 這一瞬間內獲得的衝量 (impulse) 或動量變化量就是 $q\mathbf{E}\delta t=-q (\partial\mathbf{A}/\partial t) \delta t \approx -q\mathbf{A}$。此外，磁場的突然加入並不會瞬間改變波函數 $\psi$ 與它的梯度，但會瞬間改變它的變率 (rate of change)，即 $(2)$ 式等號的左邊。因此 $-i\hbar\nabla-q\mathbf{A}$ 對應的是加入磁場後 (電荷被感應電場力作用後) 的新動量 $mv$，而 $(2)$ 式右邊的 $\hat{H}=(-i\hbar\nabla-q\mathbf{A})^2/2m+ q\phi$ 對應的恰好是加入磁場後的動能與位能之和。

      事實上，算符 $-i\hbar\nabla$ 在電磁場存在時雖然不再對應 $mv$，但它依然對應正則動量 (Canonical momentum)。帶電粒子在電磁場中所遵循的古典力學方程式是：

$$m \frac{d\mathbf{v}}{dt} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}).$$                                                        (3)

      等號右邊是電力 $q\mathbf{E}$ 與磁力 $q\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ 的和，稱為羅倫茲力 (Lorentz force)。若要根據拉格朗日力學 (Lagrangian Mechanics) 的歐拉-拉格朗日方程式 (Euler-Lagrange equation)：

$$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial v_j} \right) - \frac{\partial L}{\partial x_j} = 0, \quad j=1, 2, 3.$$                                    (4)

導出 (3) 式，會發現其中的拉氏量 (Lagrangian) 不再是簡單的動能 $T=(mv^2)/2$ 減位能 $U=q\phi$，而是要加入代表電荷運動與電磁場交互作用的耦合項 (coupling term) $q\mathbf{A}\cdot\mathbf{v}$，成為

$$L = \frac{1}{2} m v^2 + q\mathbf{A}\cdot\mathbf{v} - q\phi.$$                                                            (5)

根據 (5) 式的拉氏量 $L$，可以推出以下正則動量 (canonical momentum)

$$\mathbf{P} = m\mathbf{v} + q\mathbf{A}.$$                                                                              (6)

有了 (6) 式給出的正則動量，就可以利用勒襄德轉換 (Legendre transformation) $H(\mathbf{r}, \mathbf{P}) = \mathbf{v}\cdot\mathbf{P} - L$ 導出哈密頓量

$$H = \frac{1}{2m} (\mathbf{P} - q\mathbf{A})^2 + q\phi.$$                                                                 (7)

比較 (7) 式與 (2)，讀者可以很容易看出對應於算符 -iℏ∇ 的是正則動量 P 而不是簡單的 mv。

在電磁學裡，電場 $\mathbf{E}$ 與磁場 $\mathbf{B}$ 可以透過以下關係

$$\mathbf{E} = -\nabla\phi - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}, \quad \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}.$$                   (8)

用 $\phi$ 和 $\mathbf{A}$ 的時間或空間變化率表示出來。根據 (8) 式，可知在規範轉換 (gauge transformation)

$$\phi' = \phi - \frac{\partial f}{\partial t}, \quad \mathbf{A}' = \mathbf{A} + \nabla f.$$                                           (9)

之下，將 $\phi$ 與 $\mathbf{A}$ 換成 $\phi'$ 與 $\mathbf{A}'$ 並不會改變 $\mathbf{E}$ 與 $\mathbf{B}$，也不會改變運動方程式 (3)。這似乎暗示只有 $\mathbf{E}$ 與 $\mathbf{B}$ 有物理效應， $\phi$ 與 $\mathbf{A}$ 沒有。然而事實真是如此嗎？阿哈羅諾夫 (Y. Aharonov) 和波姆 (D. Bohm) 在 1959 年預言了一個驚人的量子現象：即使帶電粒子處於電磁場強度 $\mathbf{E}=0$ 且 $\mathbf{B}=0$ 的區域，帶電粒子的波函數 $\psi$ 的相位 (phase) 依然會受到 $\phi$ 與 $\mathbf{A}$ 的影響。這個 Aharonov-Bohm 效應現在常被簡稱為 AB 效應。

      要理解這個效應，需要知道波函數 $\psi$ 如何受到規範轉換的影響。事實上，一組完整的規範轉換除了將 $\phi$ 與 $\mathbf{A}$ 按 (9) 式換成 $\phi'$ 與 $\mathbf{A}'$ 之外，還會將波函數 $\psi$ 轉換為以下的新波函數 $\psi'$：

$$\psi' = e^{iqf/\hbar} \psi.$$                                                                                              (10)

這一整套的轉換保證了薛丁格方程式的形式不變，亦即將 (2) 式中的 $\phi$, $\mathbf{A}$, 與 $\psi$ 改成 $\phi'$, $\mathbf{A}'$ 與 $\psi'$ 就是正確的轉換後方程式，且轉換前後的方程式描述的是完全相同的物理系統。當我們說電磁場是 $\text{U}(1)$ 規範場 ($\text{U}(1)$ gauge field) 時，就是指電磁場與電荷相互作用的物理系統具有 (8), (9), (10) 所描述的規範不變性 (gauge invariance)。

      在 AB 效應中電荷所經過的區域有 $\mathbf{B}=0$，所以我們可以按 (9) 式選一個恰當的 $f$ 使 $\mathbf{A}'=0$，這樣我們就可以將 $\psi'$ 視為沒加磁場時的波函數 $\psi_0$，而 $\psi$ 就可以表示為 $\psi=e^{-iqf/\hbar} \psi_0$。上述 $\mathbf{A}'=0$ 的條件就是 $\mathbf{A}=-\nabla f$，所以可以將 $f$ 寫成沿某路徑的線積分 $f_{\text{path}}(\mathbf{r})=-\int_{\text{path}}^{\mathbf{r}} \mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}$。

AB 效應實驗示意圖

 

      驗證此效應的實驗設置是電子雙狹縫干涉，在兩個對稱路徑 $C_1$ (下方) 和 $C_2$ (上方) 之間放置一個磁螺線管，而磁場封閉在管中。當電子在無磁場區域通過時，兩個路徑上的波函數分別是 $\psi_1=e^{-iqf_1 /\hbar} \psi_0$ 與 $\psi_2=e^{-iqf_2 /\hbar} \psi_0$，它們的疊加給出的總波函數為

$$\psi = \psi_1 + \psi_2 = \psi_1 \left( 1 + e^{iq(f_1-f_2)/\hbar} \right) = \psi_1 \left( 1 + e^{-iq\Phi_B /\hbar} \right).$$                 (11)

上式的 Φ_B=∮_C▒〖A∙dl〗 就是螺線管內的磁通量 (magnetic flux)，它就是沿著封閉曲線 C=C_1-C_2 (先沿 C_1 走完，再沿著 C_2 的反方向走完) 的向量勢線積分。根據 (11) 可知磁通量雖然沒有直接接觸到電荷，卻能藉著與磁通量成正比的相位差 ∆ϕ=qΦ_B \/ℏ 影響波函數的干涉圖樣 (interference pattern)，這個效應後來被實驗證實了。將同樣的原理應用於環狀超導體，還可以推論出穿過環中心孔洞的磁通量是量子化 (quantized) 的，亦即磁通量是基本磁通量 Φ_0=h\/q 的整數倍。

      AB 效應所帶來的一個重要啟示，是向量勢 $\mathbf{A}$ 比磁場 $\mathbf{B}$ 更基本，在磁場不存在的區域，由於向量勢 $\mathbf{A}$ 並不是 $0$，因此它依然能透過影響波函數 $\psi$ 的相位而影響量子系統的行為。在上世紀 80 年代，麥可.貝里 (Michael Berry) 發現在一個更抽象的層次上，一個在參數空間 (parameter space) 中巡迴一周的量子系統，會演化出一個與系統在參數空間的巡迴的幾何路徑有關的額外相位。這個現在被稱為貝里相位 (Berry phase) 的幾何相位 (geometric phase) 後來被凝態物理學家巧妙改造後，應用於一系列與量子態的拓樸性質 (topological properties) 有關的研究中，甚至擴展至包括光子學 (photonics)、聲學 (acoustics) 與電學的古典物理領域中，成為目前還很熱門的拓樸材料 (topological materials) 研究。

      規範場以及 AB 效應相關的主題如今已形成一個非常龐大的知識體系；它可以延伸至數學中的微分幾何學 (differential geometry)、纖維叢 (fiber bundle) 等，也可以連結至高能物理 (high energy physics) 的研究。限於篇幅，本文先在此打住，而將這些相關內容留到將來有機會時再與讀者們分享。