今年是矩陣力學問世一百周年，眾所皆知，矩陣力學是不折不扣的哥廷根學派的產物，而哥廷根學派的掌門人，馬克斯·波恩(Max Born，1882—1970)在量子物理的發展歷程中，堪稱是與愛因斯坦，波爾，索末非並駕其驅的「四大天王」。他的門下更是群英匯集，量子力學能流傳到諸國，波恩門下居功厥偉。但是論到他在物理界以外的名聲，卻是意外地小，或許是由於波恩向來行事低調又淡泊名利有關吧。但是他對物理界的影響絕對值得大書特書，就讓阿文為您簡單地介紹一番。
馬克斯·波恩於1882年12月11日出生於德意志帝國普魯士王國西利西亞省布雷斯勞（今波蘭弗羅次瓦夫）的一個猶太裔家庭。他的父親古斯塔夫·雅各布·波恩(Gustav Jacob Born 1851–1900)是布雷斯勞大學（今弗羅次瓦夫大學）的解剖學與胚胎學教授；母親瑪格麗特（格雷琴）·考夫曼（Margarethe (Gretchen) née Kauffmann）則是來自西利西亞的實業家家庭。波恩4歲時母親就去世了。他的父親後來與來自柯尼斯堡的富商女兒伯莎·利普斯坦(Bertha Lipsten，1866 - 1937)再婚，生下了沃爾夫岡（Wolfgang Born, 1893-1949)，他後來成為了紐約市立學院的藝術史教授。 波恩的父親古斯塔夫·在波恩還在念中學時就因為心臟病而英年早逝。隔年波恩自布雷斯勞的威廉國王文理中學畢業後，進入布雷斯勞大學就讀。由於當時德國的大學制度允許學生在大學間轉學，所以他在1902年的夏天跑去海德堡大學，1903年的夏天則是跑去蘇黎世大學，但這些名聲響亮的地方並沒有辦法滿足少年波恩的求知慾。後來他透過在腓特烈·威廉布雷斯勞大學的猶太同學，奧托·特普利茨(Otto Toeplitz ,1881 – 1940)以及恩斯特·黑林格(Ernst David Hellinger 1883 –1950) 的介紹得知當時德國數學界的三巨頭，被稱為“Mandarins” 的費利克斯·克萊因(Felix Christian Klein,1849—1925）、大衛·希爾伯特(David Hilbert，1862—1943）和赫爾曼·閔考夫斯基(Hermann Minkowski，1864—1909）都在哥廷根大學。所以波恩也跟著他們在1904年4月啟程前往哥廷根。順便一提，特普利茨與黑林格後來都成為傑出的數學家。
哥廷根在二十世紀一開始的確是數學聖地，三巨頭中最年長也是最具權威的是克萊因。1872年，年僅23歲的克萊因就被埃朗根大學聘為教授，1886年，克萊因來到哥廷根大學之後，致力於網羅德國最優秀的人才，將哥廷根重新確立為全球數學研究之中心，恢復高斯時代的榮光，他一直待在哥廷根，直到1913年退休。克萊因在哥廷根建立的研究機構。後來成為全球同類頂尖研究機構的典範。他引入每周討論會，並創設數學閱覽室與圖書館。 此外他還創辦了《德國數學年刊》，他組建了一支小型編輯團隊，定期召開會議並以民主方式決策。該期刊最初專注於複變分析、代數幾何與不變量理論，後來也為實變函數論及新興的群論提供了重要發表平台，最終甚至超越了柏林大學的《克雷爾雜誌》成為全球最優秀的數學期刊之一。
克萊因在 1895年從科尼斯堡大學將大衛·希爾伯特挖角到哥廷根。稍早，也是來自科尼斯堡的索末菲(Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld, 1868年－1951）也來到哥廷根，他與克萊因的合作更為密切，不過他在1900年，經過克萊因的大力介紹，索末菲被委任為亞琛工業大學(Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule)應用力學系的教授。1906 年 成為慕尼黑大學新成立的理論物理學院的主任。最後來到哥廷根的是閔考夫斯基，他於1864年出生於俄國的亞力克索塔斯（今立陶宛的考納斯）。他的父親是一個成功的猶太商人。但由於當時俄國政府迫害猶太人，所以1872年，全家搬到普魯士的科尼斯堡定居，巧的是，他們家與希爾伯特家僅一河之隔。在科尼斯堡大學，閔考夫斯基和希爾伯特重新相遇，並結為摯友。 1885年閔考夫斯基在科尼斯堡大學獲得博士學位。經過短暫的兵役，1886年成為波恩大學的講師。1891年閔考夫斯基升為副教授，1894年他回到科尼斯堡大學任教。1895年接下希爾伯特遺留的空缺成為科尼斯堡大學教授。隔年，閔考夫斯基轉到瑞士蘇黎世聯邦理工學院。就是在這段時間他與愛因斯坦結下師生緣，但是閔考夫斯基對愛因斯坦印象很差，還曾稱愛因斯坦為「懶惰的狗」。到了1902年，閔考夫夫斯基受克萊因之邀，也來到哥廷根大學擔任數學教授。這種夢幻陣容也難怪當時德國的有志青年爭相趕赴哥廷根朝聖了。
打從第一堂課起，希爾伯特就對波恩青眼有加，指派他擔任自己的講座的抄錄員，為哥廷根大學的學生數學閱覽室記錄課堂筆記。抄錄員這份工作使得波恩與希爾伯特開始定期的交流。希爾伯特慷慨地向波恩傳輸自己的智慧與學識。他後來還選擇波恩成為首個無薪酬、半官方的助教。波恩在布雷斯勞的老同學特普利茨與黑林格也都拜在希爾伯特門下學習。至於波恩與閔考夫斯基的緣分就更深了，因為波恩的繼母在科尼斯堡上舞蹈課時結識了閔考夫斯基，所以波恩透過他繼母的引介跟閔考斯基扯上了邊。閔考夫斯基常在周日邀請波恩一起到自己家中共進晚餐。此外，在擔任抄錄員與助教的時候，波恩也常在希爾伯特的家裡見到閔考夫斯基。 但是說起波恩與克萊因的關係，那就比較「微妙」了。這當然跟克萊因強勢的行事風格有關。哥廷根大學的學生們喜歡講這樣一個取材自理髮師悖論的邏輯學笑話：
在哥廷根有兩類數學家，一類數學家做他們自己要做但不是克萊因要他們做的數學，另一類數學家則做克萊因想做但不是他們自己要做的數學。克萊因既不屬於前一類，也不屬於後一類，因此克萊因不算是數學家。
這當然只是學生間挖苦的笑談，但是可以讓人感受到德國數學王者的霸氣。雖說克萊因很重視教學，對培育學生也很熱心，不過由於克萊因有著普魯士樞密顧問（Geheimrat）的尊貴身份，再加上他慣於正襟危坐的個人風格，一般人與克萊因見面還得要提前預約，所以一般學生對他只能敬而遠之，反觀同為樞密顧問的希爾伯特相比之下則更加平易近人，作風也更加隨性，而且不喜歡別人以「樞密顧問」的頭銜稱呼他，所以吸引到一群忠實的年輕追隨者。順便一提，克萊因的愛徒索末非也有樞密顧問的頭銜，他的學生對待索末非也是不敢怠慢，即使玩世不恭如包立，遇到老師還是得畢恭畢敬呢。
波恩是怎麼惹毛了克萊因呢?原來波恩曾經參加由克萊因以及兩位應用數學教授──卡爾·龍格(Carl David Tolmé Runge 1856–1927) 與路德維希·普朗特Ludwig Prandtl,1875 – 1953)──所組織的彈性力學的研討會。龍格專精於光譜學，普朗特則是流體力學的大師。儘管波恩一開始對於這類工程味太濃的主題並不是很感興趣，但是基於課程需求，還是乖乖地提交報告。他使用了希爾伯特的變分法，利用兩端固定的線繩形成彎曲結構，展示「彈性線」在哪種情形下會最穩定。克萊因對於他的報告印象深刻，所以邀請他提交一份有關「平面與空間中彈性線之穩定性」的學位論文。他甚至準備將這個問題作為那一年的哲學科論文比賽的主題。獲獎者可以獲得博士學位。看來大老非常欣賞波恩，打算提拔他。不料年輕的波恩竟然敬酒不吃吃罰酒，他自認應用數學並不是自己感興趣的領域，所以一開始居然拒絕了這個邀約，這可把克萊因給惹火，想來他心裡一定非常不是滋味，竟然還有這麼不識相的小伙子!波恩很快就發現苗頭不對，克萊因可是足以左右自己學術生涯的大咖捏，所以最後他回心轉意，打算接受克萊因的邀請，糟糕的是，現在換成克萊因拒絕指導他了! 得罪了方丈還想跑? 方丈可是心眼很小的!!所以波恩只好轉而拜託龍格擔任自己的論文指導教授。 此外他也找了數學物理學家，沃爾德馬·沃伊特(Woldemar Voigt 1850 – 1919) 與著名的天文學家卡爾·施瓦西(Karl Schwarzschild 1873 –1916) 當他的口試委員。諷刺的是，當波恩投入論文寫作的過程以後，他對這個問題開始感到興趣。在這篇論文中，波恩不僅提出了穩定性條件的方程式，還專門組建了儀器來驗證自己的理論預測。最後在1906年6月13日，波恩的這篇論文贏得了那一年的哲學科論文比賽。一個月後，他憑著這篇論文通過了博士口試，取得了極優等數學哲學博士學位。但是波恩得罪了「方丈」克萊因，所以他想在德國數學界立足看來是不可能了，大概這就是波恩變成物理學家的契機吧。
波恩拿到學位後，就得去服兵役，因為與台灣一樣，兵役年齡的學生可以緩徵，一畢業就要乖乖去當兵了。一開始波恩被派去駐紮在柏林的德國陸軍「俄國皇后亞歷山德拉」第二近衛龍騎兵團中服役；然而他入伍後不久即患上哮喘，被迫於1907年1月退伍。退伍後，波恩被劍橋大學岡維爾與凱斯學院錄取，前往劍橋的卡文迪希實驗室中接受J.J·湯木生、喬治·瑟爾及拉莫爾等人的指導，進行約半年的物理學研究。不料回去德國後不久，他又再度被軍方徵召，進入「大選帝侯」第一近衛胸甲騎兵團服役，但是短短六週後，他又因為健康因素再度退伍，感覺德國軍方很愛抓人去當兵呀。還好波恩身體不好，總算平安下莊。
接下來波恩必須要先取得特許任教資格才能在學界立足，他選擇回到故鄉布雷斯勞，在奧托·盧默(Otto Lummer，1860 –1925)與恩斯特·普林斯海姆(Ernst Pringsheim，1859–1917)的指導下工作。但是這兩位都是實驗物理學家，所以波恩可是吃足了苦頭。有一次他在做黑體實驗時不慎導致冷卻水管破裂，搞到實驗室被水淹沒。盧默為此大為光火，甚至痛斥波恩，對著他嗆聲說「你永遠不能成為物理學家!」。 由此可以看出在二十世紀初，物理依然被當作是一門實驗科學，理論物理做為獨立的一門學科，還有一段漫長的路要走，而讓理論物理能夠站穩地位，波恩功不可沒，當然這與二十世紀後物理的飛躍式發展也脫不了關係，這些發展的中心正是波恩，不過盧默在矩陣力學問世前就死了，盧默九泉之下若是有知，不知道對此做何感想?真令人好奇呢~哈哈哈。不過看來波恩要想在布雷斯勞拿到任教資格的機會似乎是微乎其微了，所幸天無絕人之路，他又憑著實力絕處逢生了。這次他的貴人是誰呢? 就是閔考夫斯基。
早在1905年，愛因斯坦發表了開創狹義相對論的論文《運動物體的電動力學》時，波恩就深深受到吸引，並且開始沿著這個方向研究相關的問題。當他發現閔考夫斯基也在研究類似的問題時，還曾一度感受到競爭的壓力，所幸閔考夫斯基不愧是大師，氣度恢宏不在話下。當波恩在向閔考夫斯基提到自己的研究成果之後，閔考夫斯基不僅沒有阻止他，反倒是邀請他去哥廷根一同進行相關研究順便讓他在哥廷根準備他的任教資格論文。波恩接受了他的邀請。波恩的老朋友，特普利茨，還特地幫他溫習了矩陣代數，讓波恩能夠熟悉四維閔考夫斯基空間中物理量的運算。波恩與閔考夫斯基合作十分融洽，合作成果也相當豐碩。我們今天把相對論四維時空的表達法視為理所當然，但是當時愛因斯坦對四維時空的概念可是深深地不以為然，阿文之前寫的「愛因斯坦的助手(一):歐洲時期」中提到愛因斯坦與出身哥廷根的雅各布·約翰·勞布（Jakob Johann Laub)一起撰寫了幾部關於基本電磁方程式的論文，旨在用更簡單的公式來取代閔可夫斯基的電動力學四維公式。當然，愛因斯坦後來還是承認了四維時空公式的優越性。所以我們應當感謝波恩與閔考夫斯基當年的辛勞。
照說波恩前途總算柳暗花明，沒想到所謂「人有旦夕禍福」，正值壯年的閔考夫斯基居然在1909年1月12日因為闌尾炎而猝逝，享年只有45歲。數學系學生一致推舉波恩作為代表在他的葬禮上致辭。幾週後，波恩在哥廷根數學學會的會議上公開展示他們合作得到的結果，但不久後卻受到當時不承認特殊相對論的克萊因與馬克斯·亞伯拉罕等人的公然質問，甚至迫使他的講座被迫中止，也許與波恩尚無任教資格有關吧。關於馬克斯·亞伯拉罕相關的事蹟要請各位讀者參考阿文之前寫的「真假難辨:考夫曼–布赫雷爾–紐曼恩實驗」一文，就不在此贅述。不過幸好援軍殺到，希爾伯特與龍格對波恩與閔考夫斯基的工作都很感興趣，他們在與波恩討論之後接受了他的結果，並且勸他重啟講座。這一次波恩沒有受到干擾，順利地完成講座。沃伊特也主動協助波恩完成特許任教資格的論文《關於湯木生原子模型》（Über das Thomson'sche Atommodell）。波恩在1909年10月23日提交了特許任教資格論文，以此獲得了特許任教資格。 接著他就留在哥廷根擔任無俸講師。
波恩後來將他的講座整理為一篇題為〈相對論運動學中的剛體理論〉（Die Theorie des starren Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips）的論文，在文中波恩引入了「波恩剛性Born rigidity 」這一概念。所謂波恩剛度是試圖推廣非相對論古典力學的剛體這個概念到特殊相對論。如果在瞬時共動慣性系中，用標準測量桿測量的剛體長度（即固有長度）為常數，那就是滿足波恩剛性。所有可能的波恩剛度運動都可以使用赫格洛茨-諾特定理(Herglotz–Noether theorem).進行分類。這個定理指出，所有無旋波恩剛度運動都由在時空中剛性運動的超平面組成，而任何旋轉波恩剛度運動必須是等距基林運動(isometric Killing motion)。[所謂基林向量場是指沿著它的方向上進行平移不會改變其上點與點之間的距離]。這意味著波恩剛體只有三個自由度。因此，物體可以以波恩剛體的方式從靜止狀態進入任何平移運動，但不能以波恩剛體的方式從靜止狀態進入旋轉運動。這篇論文算是波恩初試啼聲之作，可以看出他獨特的風格。
在哥廷根擔任無俸講師的這段期間期間，波恩住在位在達爾曼街（Dahlmannstraße）17號的寄宿公寓「El BoKaReBo」。「El BoKaReBo」是以各住戶名字的前數個字母命名：「El」指埃拉·菲利普森（Ella Philipson，醫學生），「Bo」指波恩（Born）與漢斯·博爾薩（Hans Bolza，物理學生，後來成為實業家），「Ka」指西奧多·馮·卡門（Theodore von Kármán，當時也是哥廷根的無俸講師），「Re」則指阿爾布雷希特·倫納（Albrecht Renner，醫學生）。這些室友中後來與波恩有合作的只有馮·卡門。[馮·卡門出生在奧匈帝國布達佩斯一個猶太家庭，他師從普朗特，並在1908年獲得博士學位。在哥廷根教了四年書後，1912年他在德國最頂尖大學之一阿亨工業大學的航空動力研究所獲得主任職位。1930年他接受了加州理工學院的古根海姆航空實驗室主任職位並移民到美國。1936年，他和弗蘭克·馬利納及傑克·帕森斯和愛德華·S·福爾曼一起成立了一個名為航空噴射（Aerojet）的公司來生產噴射助推起飛火箭引擎。]量子場論的推動者之一、索末菲的學生，同時還擔任希爾伯特助教的保羅·彼得·埃瓦爾德(Paul Peter Ewald，1888-1985)也是公寓的常客。埃瓦爾德是索末菲送去希爾伯特那裡學習的學生，後來蘭德(Alfred Landé，1888 –1976)在1913年來換班，蘭德也跟波恩變得很熟。當時也是無俸講師的理查·科朗(Richard Courant，1888—1972）將這群人稱為「內團體」。 講起來，科朗與波恩有許多相似處。科朗出生於普魯士王國西里西亞省的盧布利涅茨，1905年全家移居柏林，科朗留在布雷斯勞，並且進入當地的大學就讀，後來他發現那裡的課程並不能讓他滿足，於是他先後轉入蘇黎世大學及哥廷根大學繼續學業，最後在哥廷根大學作為希爾伯特的助教在1910年獲得博士學位。 第一次世界大戰中曾應徵入伍，但不久就因傷而退伍。戰後，科朗繼續在哥廷根大學進行研究，後來到明斯特大學擔任了兩年的數學教授。他在明斯特大學創建了數學研究所，並且在1928-1933年擔任所長。1933年，身為猶太人的科朗被迫離開德國，赴英國避難。在劍橋大學一年後，科朗前往紐約大學擔任數學教授，他創建了數學研究組織，科朗數學研究所在後來成為一個應用數學研究中心的標竿。科朗與希爾伯特合寫的那本「Methoden der mathematischen Physik」(物理數學方法)在1924年出版時，似乎與當時理論物理學核心的量子理論問題幾乎沒有直接關聯。但兩年後因為薛丁格方程式的提出使得它成為通曉新的波動力學相關數學的寶典。該書有第二版（1931/7年）、美國戰時版（1943年）和德文第三版（1968年）。英文版《數學物理學方法》（1953年）由庫朗修訂，第二卷由科朗研究所的教員進行了大量的修改。這些書很快便獲得了經典著作的聲譽，並成為高等數學物理課程中引用率最高的書籍之一。
在哥廷根擔任無俸講師的這段日子，除了結識了各路英雄好漢之餘，波恩也完成了終身大事。1912年，波恩遇見了卡爾·龍格之女艾莉絲·龍格的好友海德薇（赫迪）·埃倫伯格（Hedwig (Hedi) Martha Ehrenberg），海德薇的父親是時任萊比錫大學教授的法學家維克多·埃倫伯格，母親則是法學家魯道夫·馮·耶林的女兒埃莉斯·凡·耶林（Elise von Jhering）。海德薇的父親是猶太人，不過在結婚時改信信義宗。儘管波恩對於宗教信仰並不那麼熱忱，但他一開始還是拒絕改宗。二人在1913年8月2日結婚，婚禮沒有在教堂，而是在花園裡舉行。但是波恩最終還是在次年3月由主持他婚禮的牧師施洗，改信信義宗。波恩雖然覺得「宗教懺悔和教會並不重要」。但是一來是順應他妻子的要求，另一部份原因是他希望能藉此融入德國社會。二人婚後共育有艾琳（Irene，1914年生）、格里特利（Gritli，1915年生）兩個女兒，和古斯塔夫（1921年生）一個兒子。
到了1913年底，波恩在哥廷根已經發表了27篇論文，其中包括論述相對論與晶格動力學的重要文章，其中三篇是與西奧多·馮·卡門(Theodore von Kármán，1881—1963）合著的，這些文章後來結集成書出版。而《晶格動力學》（Dynamik der Kristallgitter）則是要等到1915年才出版。有了這些亮麗的表現，波恩的下一步當然就是在大學裡找教職了。果然在1914年，波恩受到普朗克的邀請準備擔任柏林大學新設立的理論物理學系的非講座教授。這個職位原本是打算給馬克斯·馮·勞厄的，但是沒料到勞厄居然拒絕了。[馮·勞厄是普朗克的學生，從1909年起在慕尼黑大學的理論物理學研究所任教光學、熱動力學和相對論。1914年他選擇去法蘭克福大學擔任教授，沒多久他就得到諾貝爾獎了。] 波恩原本接受了普朗克的邀請。但不久之後，第一次世界大戰爆發了。所以當波恩在1915年搬到柏林時，很快就被編到陸軍信號部隊，擔任無線電操作員。1915年10月，波恩加入了陸軍駐柏林的炮兵研發機構「炮兵測試委員會」，在魯道夫·拉登堡的領導下研究循聲定位技術。波恩後來把本來在東方前線當看護兵的蘭德也找來「炮兵測試委員會」任職。波恩在柏林的這段時間最大的收獲應該是結識了愛因斯坦，二人成為了終身摯友。1918年11月，一戰停戰後不久，普朗克著手要把波恩從陸軍調回大學來。就在此時，波恩巧遇了弗里茨·哈伯，兩人討論了金屬與鹵素形成離子化合物的過程，後來此機制被命名為玻恩-哈伯循環。照說波恩就應該照原先的安排去接任柏林大學的教職，但是沒想到，原先不想去柏林的馮勞厄，此時卻改變了心意，決定接受柏林的工作。所以普朗克與波恩，馮勞厄進行協商，1919年4月，德國的教育部把馮·勞厄派去柏林大學而把波恩派去法蘭克福大學當教授以及理論物理學研究所主任。阿文在法蘭克福理論物理研究所擔任宏博學者時，常去借書的圖書館就叫做「波恩圖書館」呢。
在法蘭克福的這段時間，波恩與愛因斯坦，索末菲的互動變得更加頻繁。1919年至1920年間，波恩對愛因斯坦的相對論遭到大量批評和反對意見感到不滿，所以他在1919年冬發表了一些演講來聲援愛因斯坦。波恩同時也透過演講獲得了收入，對其在接下來一年通貨膨脹期間的收入頗有裨益。波恩的德文演講經編集成書後於1920年以《愛因斯坦之相對論及其物理基礎》之名出版，愛因斯坦也收到了一份。這本書籍於1922年三版，英文譯本則於1924年發行。至於與索末菲的來往則是來自於索末菲在讀了波恩1915年出版的《晶格動力學》（Dynamik der Kristallgitter）之後，決定邀請波恩為他的《數學百科全書》（Mathematical Encyclopedia）第五冊撰寫專文。波恩於1919年開始，至1922年方完成寫作。這篇專文章後來以《固態原子理論》（Atomic Theory of Solid States）之名出版。
但是波恩在法蘭克福待沒多久就接到了母校哥廷根大學的邀請，希望他去擔任物理研究所的主任。愛因斯坦鼓勵他說「無論你到哪裡，理論物理學就會在那蓬勃生長。德國現在不會再有另一個波恩了。」可見愛因斯坦對波恩的評價有多高。波恩在與德國教育部協商後，居然還為他的摯友詹姆斯·法蘭克在哥廷根安排了實驗物理學教授的職位。 自1921年到1933年間，波恩與法蘭克一同為哥廷根大學工作長達12年。由此開啟了哥廷根雙璧引領量子物理的黃金時代。波恩如何引領哥廷根學派諸君開創量子新紀元呢? 這就留待下回分解了。
參考資料:
(一) 中文 英文 德文 維基相關條目
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