在兩年前的專欄文章《從參考圓，相空間，到升降算符：聊聊簡諧運動》裡，我們初步介紹了簡諧運動的數學描述，也解釋了如何從「參考圓」看出升、降算符的數學形式。現在我們進一步來談談力學與電磁振動系統的數學對應，以及這個對應所能帶來的物理洞見。為了讓討論更具有一般性，我們將通常會存在於這兩個振動系統中的阻尼效應 (damping effect) 一併納入考慮。此外，為了讓討論不要過度複雜，我們假定在力學系統中來自流體的黏滯性 (viscosity) 的阻尼力 (damping force) 與物體的運動速度成正比，這在低雷諾數 (Reynolds number) 的條件下是成立的。

首先說明如何寫下有阻尼力與驅動力 (driving force) 作用的簡諧振動運動方程式。假定有一個質量為 $m$ 的物體連接於彈簧的一端，受驅動力 $f(t)$ 作用，而彈簧的另一端固定，且這個物體置於一個可提供阻尼力的流體中。此外，假定彈簧本身的質量可忽略，彈簧的形變量 (振幅) 夠小 (亦即在 “彈性限度” 內)，且彈簧本身不與流體作用。若將該物體平衡位置的座標定為 $x=0$，且設彈力常數為 $k$，則根據彈力的虎克定律 (Hooke’s law)，並假定阻尼力為 $f_d = -b\dot{x}$，就可寫下總作用力為 $F = f(t) - kx - b\dot{x}$ (負號表示相反方向)。再根據牛頓第二運動定律 $F = m\ddot{x}$，就可寫下運動方程式：

$$m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = f(t)$$                                                                                                (1)

上式 $x$ 代表物體的位移，也是彈簧形變量，$\dot{x} = \frac{dx}{dt}$ 是物體速度，$\ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2}$ 表示加速度，而 $b$ 是阻尼係數 (damping coefficient)。驅動力 $f(t)$ 常被假定為以某個固定頻率振盪的正弦型函數 (sinusoidal function)，但我們暫時不做這個假設。

以 $\dot{x}$ 乘以方程式 (1)，並利用 $m\dot{x}\ddot{x} = \frac{d}{dt}\left(\frac{m}{2}{\dot{x}}^2\right)$ 與 $kx\dot{x} = \frac{d}{dt}\left(\frac{k}{2}x^2\right)$，可得

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{m}{2}{\dot{x}}^2 + \frac{k}{2}x^2\right) + b{\dot{x}}^2 = f(t)\dot{x}$$                                       (2)

方程式 (2) 所表達的是一個能量平衡關係，可以寫成以下形式

$$\frac{dE_m}{dt} + P_{\text{loss}} = P_{\text{source}}$$                                                                       (3)

其中 $E_m = \frac{m}{2}{\dot{x}}^2 + \frac{k}{2}x^2$ 是此力學振動系統的力學能 (mechanical energy)，包含動能 $\frac{m}{2}{\dot{x}}^2$ 與彈力位能 $\frac{k}{2}x^2$；$P_{\text{loss}} = b{\dot{x}}^2$ 是阻尼造成的力學能量損耗率，它就是那個運動物體產生熱能的功率；而 $P_{\text{source}} = f\dot{x}$ 代表驅動力做功的瞬時功率。

與此對應，可以考慮一個有交流或任意時變電壓源的 RLC 串聯電路，其中 $R$ 是電阻 (resistor)，$L$ 是電感 (inductor)，而 $C$ 是電容 (capacitor)。假定電壓源的瞬時電壓/電動勢是 $V(t)$，則根據克希荷夫電壓定律 (Kirchhoff’s voltage law)，可寫出 $L\frac{dI}{dt} + RI + \frac{q}{C} = V(t)$，其中 $I$ 是電路中的電流，而 $q$ 是電容中儲存的電荷。利用關係式 $I = \frac{dq}{dt} = \dot{q}$ 與 $\frac{dI}{dt} = \frac{d^2q}{dt^2} = \ddot{q}$，可以進一步將此式改寫為方程式

$$L\ddot{q} + R\dot{q} + \frac{1}{C}q = V(t)$$                                                                                    (4)

比較方程式 (1) 與 (4)，可以發現兩者在數學結構上是完全等價的。利用相似的手法，以 $I = \dot{q}$ 乘以方程式 (4)，就得到

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{L}{2}I^2 + \frac{1}{2C}q^2\right) + RI^2 = IV$$                                                        (5)

很明顯，方程式 (5) 也是一個能量平衡關係，可以寫成以下形式

$$\frac{dW_{em}}{dt} + P_{\text{loss}} = P_{\text{source}}$$                                                                      (6)

其中 $W_{em} = \frac{L}{2}I^2 + \frac{1}{2C}q^2$ 是此電路系統的電磁能 (electromagnetic energy)，包含儲存在電感中的磁能 $\frac{L}{2}I^2$ 與電容中的電能 $\frac{1}{2C}q^2$；$P_{\text{loss}} = RI^2$ 是電阻造成的焦耳熱功率 (Joule heating power)；而 $P_{\text{source}} = IV$ 代表電壓源提供的瞬時輸入功率 (instantaneous input power)。

透過方程式 (1) 與 (4) 以及 (2) 與 (5) 的對比，我們可以建立一套很直觀的物理量對應表。這套對應關係不但能幫助我們理解抽象的電學概念，也讓工程師能利用電路模擬來解決複雜的力學振動問題。首先是質量與電感的對應。在力學系統中，質量 $m$ 是慣性的度量，它抵抗物體速度的改變。在電學系統中，電感 $L$ 則抵抗電流的改變。因此，質量 $m$ 對應電感 $L$。其次是阻尼係數與電阻的對應。阻尼係數 $b$ 描述了系統透過流體黏滯性將力學能量轉化為熱能的功率 $b{\dot{x}}^2$。在電路中，電阻 $R$ 扮演了相同的角色，將電能轉化為焦耳熱，產熱功率為 $RI^2$。因此，阻尼係數 $b$ 對應電阻 $R$。第三個是彈力常數與電容倒數的對應。力學系統的彈力常數 $k$ 描述了彈簧恢復原狀的能力。在電路中，電容的倒數 $1/C$ 描述了儲存的電荷產生電壓 (電位差) 的能力。這種電壓抵抗電流的繼續注入，也就是抵抗充電。從能量觀點來看，也有彈力位能 $\frac{k}{2}x^2$ 對應電能 $\frac{1}{2C}q^2$。因此，彈力常數 $k$ 對應電容倒數 $1/C$。最後，是驅動力與電動勢的對應。推動物體運動的驅動力 $f(t)$ 對應推動電荷流動的電壓源電壓 $V(t)$。從能量觀點看也有 $f\dot{x}$ 對應 $VI$。因此，外力 $f(t)$ 對應源電壓 $V(t)$。這些內容可總結如下：

在上述的兩類系統裡，扮演激勵源 (stimulating source) 的驅動力 $f(t)$ 或源電壓 $V(t)$ 都是主動影響或控制整個系統的演化，而它們自己並沒有動力學特徵。一個更有趣的情況是激勵源本身是另一種振動或波動系統，並透過與前述振動系統的耦合 (coupling) 形成一種新的振動或波動模式。例如在離子晶體 (ionic crystals) 裡，帶電離子的相對振動形成聲子模態 (phonon modes)，但同時也對應有電極化 (electric polarization) 的振動。這是因為局部的電偶極 (electric dipole) 就是離子電荷乘以離子的位移，而電極化其實就是電偶極的空間分布密度。當電磁波存在於離子晶體中時，它的電場可以將原本處於平衡位置的正負離子推或拉向相反的方向，這就產生了電極化。晶格本身的回復力提供了相當於 “彈簧” 的機制，而像是晶格缺陷 (defects) 與離子的熱運動 (thermal motion) 等效應的平均效果，相當於引入耗散機制或阻尼係數。因此，作用於離子的時變電場扮演激勵源的角色，而電極化的時間變化扮演 “天線” 的角色，會輻射出新的電磁波並與原來的電磁波疊加。將這兩個子系統 (subsystems) 一併考慮時，就形成一種新的傳播模態—聲子-電磁極化子 (phonon-polaritons)。

如果將離子晶體換成金屬，位移的電荷就換成是金屬中那些不被個別原子束縛，而可以自由移動的電子。這種情況相當於是沒有了那個 “彈簧”，但阻尼依然存在，因為這些可以隨意遊蕩的電子依然會被晶格缺陷散射。利用這種簡單的圖像去推導電磁波在金屬中的傳播行為，就是所謂的德魯德模型 (Drude model)。在最簡單的德魯德模型中，電子的運動方程式寫成：

$$m\ddot{x} + b\dot{x} = qE(t)$$                                                                                        (7)

若假定電磁波以固定的角頻率 $\omega$ 振盪，就可以導出以下的相對電容率 (relative permittivity) 或相對介電常數 (relative dielectric constant)

$$\varepsilon_{\mathrm{Drude}}(\omega) = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2 + i\gamma\omega}$$                                 (8)

其中 \gamma=b/m 是這個波系統的阻尼係數，而

$$\omega_p = \sqrt{\frac{Nq^2}{\varepsilon_0m}}$$                                                                     (9)

是電漿角頻率 (plasma angular frequency)。此處 $q$ 是電子電荷 (charge)，$N$ 是自由電子的電荷濃度 (charge concentration)，$m$ 是電子在金屬中的等效質量 (effective mass)，而 $\varepsilon_0$ 是真空的電容率。以金或銀為例，$m$ 約等於電子原來在真空中的質量，而電漿頻率 (plasma frequency) $f_p = \omega_p/2\pi$ 落在紫外光的頻段。通常 $\gamma$ 比 $\omega_p$ 小很多，此時若忽略 $\gamma$，由 (8) 式可以看出，在頻率低於 $f_p$ 時，會有 $\varepsilon_{\mathrm{Drude}} < 0$ (即負值)。在非磁性材料中，根據馬克斯威方程組 (Maxwell equations) 推得的折射率是 $n_{\text{Drude}} = \sqrt{\varepsilon_{\mathrm{Drude}}}$。這表示在頻率低於電漿頻率時，折射率是純虛數，所以電磁波無法在此介質中傳播。在這種情況下，入射到這個介質的光 (電磁波) 會被介質完全反射回去。這就解釋了為何金屬的外觀如此光亮。

上世紀末的一個有趣發展，將前述的力學—電磁系統的對應關係推向一個全新的境界。英國知名物理學家 John B. Pendry 爵士的研究組在 1996 年於物理評論通訊 (Physical Review Letters) 發表了一篇非常重要的論文，展示如何將週期排列的細金屬線陣列 (thin wire array) 等效為一個人工的電漿介質，而其電漿頻率落在微波頻段。這個發展促進了相關人工介質的研究，並在數年後進一步催生出超穎材料 (metamaterials) 與隱形斗篷 (invisibility cloak) 的研究。

Pendry 等人在這篇 PRL 論文中指出，當此系統被當成一個均勻介質時，其等效的介電常數是一個德魯德型的介電函數

$$\varepsilon(\omega) = 1 - \frac{\omega_{p,\text{eff}}^2}{\omega^2 + i\Gamma\omega}$$                                     (10)

此公式雖然形式上與 (8) 式相同，且等效電漿角頻率

$$\omega_{p,\text{eff}} = \sqrt{\frac{N_{\text{eff}}q^2}{\varepsilon_0 m_{\text{eff}}}}$$                                       (11)

也與 (9) 式有同樣形式，但這裡的 $m_{\text{eff}}$ 並非金屬裡電子的等效質量，而是由細金屬線的電感所決定的。等效濃度 $N_{\text{eff}}$ 比較好理解，它就是因為細金屬線只佔據其所屬空間中很低比例的體積而 “被稀釋” 的等效電子濃度。具體而言，在這個系統中，$N_{\text{eff}}$ 比原來的金屬中電子濃度 $N$ 小非常多，而 $m_{\text{eff}}$ 又比電子真實的質量大非常多，因此可以得到一個超低頻 (等效電漿頻率遠低於真實金屬中的電漿頻率) 的等效電漿介質。在該論文所設定的參數中，$m_{\text{eff}}$ 的數值甚至可以超過 10 個質子的質量。

以下概略說明這個系統是如何等效為電漿介質的。具體的計算細節可以看文末提供的參考文獻。假定一段長度為 $l$ 的金屬線具有自感 $L$，電阻 $R$，在時變電場 $E$ 作用下其兩端的瞬時電位差為 $V = El$，金屬線中電流為 $I$，則有以下的動力學方程式

$$L\frac{dI}{dt} + RI = El$$                                                                                                 (12)

比較 (12) 式與 (7) 式，會發現兩者有完全相同的數學形式。只要定義等效質量 $m_{\text{eff}}$ 與阻尼係數 $b_{\text{eff}}$ 為

$$m_{\text{eff}} = \frac{qLI}{lv}, \quad b_{\text{eff}} = \frac{qRI}{lv}$$                                                        (13)

就可由 (12) 式得到與 (7) 式形式完全相同的公式

$$m_{\text{eff}}\frac{dv}{dt} + b_{\text{eff}}v = qE$$                                                                  (14)

若將速度 $v$ 解釋為金屬線 (半徑為 $r$) 中電荷的漂移速度 (drift velocity)，就有 $I = \pi r^2 (N q v)$；再根據 (13) 式，就得到

$m_{\text{eff}} = \frac{N \pi r^2 L}{l} q^2$，以及 $b_{\text{eff}} = \frac{N \pi r^2 R}{l} q^2$。                                    (15)

根據方程 (15) 就可推導出等效介電常數公式 (10)，而其中等效電漿角頻率 $\omega_{p,\text{eff}}$ 與耗散係數 $\Gamma$ 可化為 ($a$ 為晶格常數，即相鄰兩金屬線之間隔)

$$\omega_{p,\text{eff}} = \frac{1}{a} \sqrt{\frac{l}{L\varepsilon_0}}, \quad \Gamma = \frac{R}{L}$$                                (16)

從能量觀點來看這個對應會更有趣。金屬線陣列中一根金屬線周圍磁場儲存的磁能 $LI^2/2$ 等效於電漿中一個晶胞（體積 $la^2$）範圍內許多自由電荷粒子攜帶的總動能 $N\pi r^2lm_{\text{eff}}v^2/2$：

$$(N\pi r^2 l)\frac{m_{\text{eff}}v^2}{2} = \frac{LI^2}{2}$$                                                           (17)

從這個結果可以看到，這篇論文揭示了一個深層的原則：透過結構設計，可以重新定義系統的等效動能與慣性來源。在這個意義下，磁能不再只是電磁場的附屬量，而能被重新詮釋為集體運動的動能項。這個觀點，是後來發展超材料物理的一個重要基礎。

 

1. J. B. Pendry, A. J. Holden, W. J. Stewart, and I. Youngs, Extremely Low Frequency Plasmons in Metallic Mesostructures, Phys. Rev. Lett. 76, 4773 (1996).
2. 欒丕綱，陳啟昌，《光子晶體—從蝴蝶翅膀到奈米光子學》，第二版，2010年，五南出版社。