在前刊《無所不在的幽靈粒子——微中子探秘》中，我們介紹了微中子的發現史、基本物理性質，以及它們在宇宙學中的角色。然而，隨著實驗技術的進展，物理學家逐漸意識到，微中子不僅僅是「難以捉摸」的粒子，它們的行為本身，甚至正在挑戰我們對基本粒子與自然界對稱性的既有認知。

本文將聚焦於一個看似反直覺、卻極具深遠意義的現象——微中子振盪。正是這項發現，首次明確指出微中子並非如標準模型所假設的那般簡單，也開啟了通往輕子混合、質量生成，以及潛在的 CP 破壞等關鍵議題的大門。

一、探測簡史：消失的微中子何去何從？

微中子是宇宙中數量最多的費米子，也是僅次於光子、最無所不在的基本粒子。我們先來複習一下微中子家族。它們的種類分別是：電子(e)微中子、緲子(μ)微中子、淘子(τ)微中子——在物理學上，我們稱之為三種「味」(flavor)。它們質量幾乎為零（注意這邊用的詞是「幾乎」）、也因此幾乎都趨近光速運動；此外，微中子只參與重力、弱交互作用，因此並不像光子那樣能輕易被感測到。綜合這兩大特性，這便可以解釋了為什麼每秒有數兆個微中子穿過你我的身體、我們卻從未感知到——對於微中子而言，所有物質、就算是最精密的探測器擺在面前，幾乎都是透明的——而光是這點，就足以讓這個看似無所不在的粒子、成為最「難以捉摸」的幽靈粒子。

那麼，微中子是從哪來的？

對於地球而言，太陽是微中子的最大產生源。86%的太陽微中子(solar neutrinos)會從核融合的質子-質子鏈反應中產生，由於參與反應的是電子，因此太陽微中子基本上就是電微中子。而在1960年代晚期的霍姆斯特克實驗(Homestakes experiment)中，人們發現：實驗探測到的微中子數量，僅有預測數量的約1/3——這就是著名的「太陽微中子問題」(solar neutrino problem)。於是物理學家們做出了這樣的猜想：會不會是這些電子微中子在抵達地球被觀測前，轉變成其他型態（味）的微中子，導致了數量上的缺陷？而這個假說就是「微中子振盪」(neutrino oscillation)理論的雛形。直到將近三十幾年後的2001年，加拿大薩德伯里微中子觀測站(Sudbury Neutrino Observatory, SNO)的實驗，驗證了微中子會發生「味變換」的說法，可以視為微中子振盪的首個實驗論證。

而微中子的產生源並不止於太陽，當宇宙射線與大氣層交互作用時，也會產生微中子。這類大氣微中子(atmosphric neutrinos)最常見的莫過於緲微中子，畢竟緲子(muon)算是最容易被地表觀測到的宇宙射線之一（圖1-1）。日本超級神岡探測器(Super-Kamiokande)在1998年發現了類似太陽微中子的「數量缺失」，而後也被證實了就是大氣微中子的振盪現象。

圖 1-1：以緲子 ($\mu$) 為主的宇宙射線，是大氣微中子的主要探測來源。圖源：Takaaki Kajita in the Proceedings of the Japan Academy, Series B, Physical and Biological Sciences (10.2183/pjab.86.303)

領導SNO實驗的亞瑟·麥克唐納(Arthur McDonald)和超級神岡探測器的梶田隆章，也因此獲頒2015年的諾貝爾物理學獎（圖1-2），根據官方說法，其成就在於：

「觀測到微中子振盪，並因此證明了微中子具有質量」
(“For the discovery of neutrino oscillations, which shows that neutrinos have mass”)

讀到這裡，大家應該就知道微中子振盪的實驗沿革了。然而這裡我們卻忽略了一個核心問題：微中子振盪何以成為微中子具有質量的鐵證？

圖1-2: 2015年諾貝爾物理學獎的官方海報，獲獎者分別是梶田隆章（左）與亞瑟·麥克唐納（右）。圖源：http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2015/

二、微中子振盪：顛覆標準模型的粒子行為？

我們在之前的文章中已經展示過微中子振盪的數學模型、也推導出了微中子振盪的機率形式，這裡帶大家簡單複習一下。

儘管關於微中子質量究竟如何生成，目前仍缺乏一個確立的理論機制，但微中子振盪本身其實相對容易理解——甚至只需要大學程度的量子力學概念便足以說明。一句話總結就是：微中子振盪源於「質量特徵態」與「味特徵態」並不重合這個事實。

圖2-1: 以「波段」的疊加來理解微中子振盪：不同味的微中子可以視為不同頻率的波段，任兩者的疊加則可形成「波包」，當振盪發生時，相當於轉變成不同的味特徵態，圖中是以緲微中子與電微中子為例。圖源：https://www-sk.icrr.u-tokyo.ac.jp/en/sk/neutrino/kajita/vibration/

現今粒子物理學建立在量子場論的框架之上，而場論的數學基礎來自量子力學。量子力學本質上則是一套建構於向量空間之中的理論，它告訴我們，粒子可以處於各種不同的「狀態」、用線性代數的語言就是特徵態(eigenstate)，而不同的物理過程，往往偏好用不同的基底(basis)來描述。哪些狀態會被「觀測」，取決於我們探測的行為——還記得嗎？量子力學本身強調的，無非就是觀測的行為與狀態之間的交互作用。對微中子而言也是如此：在自由空間中傳播時，最自然的描述方式是質量特徵態；而一旦參與弱交互作用、從而被探測器「感測」，我們所量測到的將會是味特徵態。就像是我們在見到一個人時，通常可以立刻描述對方的外表、衣著（味特徵態），但我們卻無法直接說出對方的體重數值（質量特徵態）。

微中子振盪之所以發生的關鍵在於：「質量」和「味」這兩組特徵態並不相同。我們在實驗中所稱的「電微中子」、「緲微中子」或「淘微中子」，其實都不是單一的量子態，而是多個質量特徵態的疊加。就像之前提過的，如果用紅、綠、藍三原色來類比微中子的質量或味特徵態，那麼所謂的「電子微中子」，或許更像是黃色——也就是紅色與綠色以特定比例混合後的結果；而這些混合的比例，正是由所謂的「混合角」(mixing angle)所決定。混合的比例決定了振盪的程度；若混合角為零，則振盪就不會發生。正因為質量特徵態彼此具有不同的質量，它們在傳播過程中會累積不同的量子相位，這種相位差隨著時間與距離改變，最終使得微中子被觀測到的「味」發生轉換——這便是我們所說的微中子振盪。

微中子振盪的行為可以用下列式子表述：

$$|\nu_i\rangle = \sum_j U_{ij} |\nu_j\rangle,$$                                                                           (1)

從上面不難看出，味特徵態 ($i \in e, \mu, \tau$) 可以視為質量特徵態 ($j \in 1, 2, 3$) 的疊加，且味變換可以透過么正矩陣 $U_{ij}$ 來聯繫。我們在之前的文章中用了簡化版的雙味近似 (two-flavor approximation) 來推導，所得到的振盪機率方程會是：

$$P(\nu_\alpha \rightarrow \nu_\beta) = |\langle \nu_\beta | \nu_\alpha(t) \rangle|^2 = \sin^2 2\theta \sin^2 \left( \frac{\Delta m^2 L}{4E} \right)$$(2)

這裡 $\theta$ 代表混合角，$m$、$L$ 與 $E$ 分別代表微中子的質量、傳播距離以及能量。那麼，微中子振盪又如何佐證了微中子「質量非零」的事實？我們不妨換個角度思考：如果微中子質量為零，三種微中子將自然而然滿足 $m_1 = m_2 = m_3 = 0$，而這也正是標準模型原先的假設。然而，實驗率先觀測到了微中子振盪——而振盪的存在，意味著不同質量特徵態發生相位疊加，這只有在質量平方差 ($\Delta m^2$) 非零的情況下才可能發生（留意式(2)的質量項）。換言之，至少必須存在某些不相等的質量特徵態，例如 $m_1 \neq m_2$（不論第三個質量為何），這便直接導致一個不可避免的結論：至少有一種微中子質量不為零。僅憑這一點，就已足以打破標準模型既有的框架。至於標準模型為何會有「微中子質量為零」的設定，我們已在前文討論過，這裡不再贅述。

三、PMNS矩陣：隱藏其中的宇宙學謎團

現在讓我們回到式(1)，這條式子表達了微中子振盪的行為。值得注意的是，在推導式(2)時我們採用了簡化版、即只考量兩種味特徵態的微中子，因此 $U_{ij}$ 是個簡單的二階矩陣。但廣義來說，如果我們考量三種微中子的特徵態，這個矩陣將可以寫成如下形式：

$$U_{\text{PMNS}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c_{23} & s_{23} \\ 0 & -s_{23} & c_{23} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_{13} & 0 & s_{13}e^{-i\delta_{CP}} \\ 0 & 1 & 0 \\ -s_{13}e^{i\delta_{CP}} & 0 & c_{13} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_{12} & s_{12} & 0 \\ -s_{12} & c_{12} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$(3)

這看似比想像中複雜不少的矩陣形式，就是代表輕子家族的「PMNS矩陣」(Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata matrix)。在粒子物理學中，三代夸克的弱交互作用是由CKM矩陣(Cabibbo-Kobayashi-Maskawa matrix)所描述的，同樣也是一個3x3矩陣。

這兩種矩陣的共通點在於：它們皆包含了三個混合角、以及一個 CP 相位因子。在式(3) 中，$s = \sin \theta$，$c = \cos \theta$，代表了混合角；$\delta$ 則是相位因子，在這裡表示 CP 破壞的相位，若 $\delta_{CP}$ 非零，則說明了微中子振盪具有 CP 破壞的性質——這將成為提供理解宇宙早期物質與反物質不對稱的重要線索，也是當前與未來中微子實驗所高度關注的核心問題之一。從實驗物理學的角度來論，我們所能量測到的關鍵參數，無非就是三個混合角 ($\theta_{12}$, $\theta_{23}$, $\theta_{13}$) 以及 CP 相位 ($\delta_{CP}$)。一旦這些參數被更精確地量測出來，它們不僅能完整描述微中子振盪的行為，也將成為連結理論模型與實驗觀測的關鍵橋樑——而這，正是現代微中子實驗的重點目標。

圖 3-1：描述夸克混合的 CKM 矩陣（左）與描述微中子混合的 PMNS 矩陣（右）。方塊的面積大小代表該矩陣元素的平方 $|U_{ij}|^2$，也就是該味特徵態包含某一質量態的比例。CKM 矩陣幾乎由對角線上的元素主導，意味著夸克的味與質量特徵態高度一致、混合效應相對微弱；PMNS 矩陣中的多個元素都具有相近且顯著的大小，顯示微中子具有較大的混合幅度。此一差異也意味著輕子與夸克的質量生成、混合，可能源自不同的物理機制。圖源：Sheldon Stone, DOI: 10.22323/1.174.0033

相較於夸克家族的CKM矩陣，人們對於輕子家族的PMNS矩陣尚未理解透徹。CKM矩陣的參數在過去數十年間已被精確驗證，比如CP相位因子不為零、這就足以解釋了K介子衰變中的CP破壞。然而對於PMNS矩陣中的CP相位究竟是否為零，至今依然有待驗證，這也是當前實驗探測的首要任務。從這點也不難看出，微中子的探測難度比夸克來得高。

四、持續解碼：21世紀的實驗展望

回到 PMNS 矩陣，如果你仔細端詳式(3)，便會發現，$\theta_{12}, \theta_{23}, \theta_{13}$ 分別嵌於三塊矩陣中，其中只有中間那方陣包含有 CP 相位因子。事實上，這三個被拆分的矩陣各自代表著不同類型的實驗意義：

而我們在前一章節已經討論過太陽微中子與大氣微中子的實驗了——這兩項的觀測足以支持微中子振盪的存在，但卻還不足以量測CP相位。因此，第三種實驗類型就派上用場了——加速器實驗。這類型的微中子並非直接來源於自然界，而是透過核反應爐、或者粒子加速器的撞擊與衰變所產生。

對於這類型的微中子實驗，最常用到的方程式莫過於以下這條：

$$P(\nu_\alpha \to \nu_\beta) = \sin^2 2\theta \sin^2 \left( 1.27 \frac{\Delta m^2 [\text{eV}^2] L [\text{km}]}{E [\text{GeV}]} \right)$$       (4)

這條公式其實就是式(2)的SI制版本，它表述了任兩種微中子發生味特徵態轉變 $\alpha \to \beta$ 的機率。從方程式可以看出，微中子振盪的機率除了取決於混合角 $\theta$ 以外，也取決於能量 $E$ 與距離 $L$。這也間接催生出了加速器實驗的優勢：我們可以掌握粒子源的能量，同時設定微中子傳播的基線 (baseline) 長度。

如果CP破壞存在，就意味著以下不等式將會成立：

$P(\nu_\alpha \to \nu_\beta) \neq P(\bar{\nu}_\alpha \to \bar{\nu}_\beta)$

因此這時探測的重點就在於「反微中子」的數量了，我們可以從探測到的正、反微中子比值，來推斷出CP破壞是否存在。對於太陽或者大氣微中子實驗而言，不是反微中子的數量相當有限、就是比例和能量分布特別複雜。因此，諸如加速器這類的「人造」微中子實驗反而會更直觀，因為我們將能更精確地掌控粒子的生成、衰變與分支比(branching ratio)等等，才更有機會將微妙的不對稱性從實驗數據中體現出來，而這類型的實驗也成為當代微中子探測器的開發重點。

五、結語

至此，數十年下來的實驗已經向我們闡明：微中子振盪並非只是某種數學上的巧合，而是深深植根於量子力學與粒子物理結構中的現象。從特徵態的可區辨性到PMNS 矩陣的推廣，這些看似抽象的參數，實際上承載著關於微中子質量、CP破壞，甚至宇宙早期演化的重要線索。

那麼，物理學家究竟是如何追蹤這些幾乎不與物質互動的粒子？實驗又必須如何被精心設計，才能在雜訊之中捕獲微弱而關鍵的訊息？在下一篇文章中，我們將把目光從理論轉向實驗，介紹微中子的主要探測方式、加速器微中子實驗的基本原理。現今對於微中子物理圖像的建立，是從極其稀少的交互作用事件中，一次又一次地重建、推論與驗證而來。微中子物理因此成為一門橫跨理論與實驗邊界的學問——它既挑戰我們對自然界基本架構的理解，也迫使實驗物理不斷突破探測技術的極限。