上一回我們提到波恩接替前去蘇黎世的德拜，成為哥廷根的物理講座教授，同時安排他在海德堡大學時期認識的實驗學家詹姆斯·法蘭克來哥廷根任教，兩人共同將哥廷根打造成量子物理的聖地。其實剛到哥廷根時的波恩，對當時的量子物理並沒有特別卓越的研究。但是他在哥廷根一開始就鴻運當頭，找到兩個強而有力的助手，那就是後來在物理史上發光發熱的包立與洪德。包立是在1921年的十月就來到哥廷根，但是1922年四月他就跑去漢堡大學。主要是因為包立不習慣小鎮生活，他離不開大都會熱鬧的夜生活。據傳他老是沒去波恩的課堂上，因為波恩的課都開在一大早，包立還在呼呼大睡呢。在哥廷根的期間，包立除了將他的博士論文出版之外，還與波恩合寫了一篇將微擾理論運用到原子系統的論文。洪德則是在波恩指導下拿到博士後留在波恩身邊繼續研究。有興趣的讀者可以參考阿文寫的「No time to be brief (上) 來自維也納的猶太神童」與「長壽的物理學家(三):洪德」。
但是真正讓波恩對量子物理產生莫大興趣的事件還是1922年六月波爾來哥廷根發表演講，這個活動是慶祝哥廷根理論物理研究所的開幕，因為哥廷根理論物理研究所是波恩到了哥廷根以後的1922年5月31日成立的。雖然波爾的演講正式的名稱是Wolfskehl lectures，但是一般都稱為「Bohr-festival」，這是因為這場演講安排在一年一度的 Göttingen H¨andel-Opera-Festival 兩周前，但是波爾也的確頗具巨星風采，他在哥廷根的演講造成轟動，尤其對年輕的學生間更是如此，因為波爾帶來的不是解答，而是挑戰與邀請。這場盛會不僅吸引到克萊因，希爾伯特，龍格與科朗這些哥廷根的數學家前來捧場，連荷蘭萊頓的埃倫費斯特以及瑞典的奧斯卡·克萊因也前來參加。更重要的是，慕尼黑的索末菲帶他的得意門生海森堡前來，跑去漢堡的包立也來到哥廷根聽波爾的演講。就是在這個場合，波爾第一次告訴包立，元素周期表背後的大問題:為什麼電子不會擠到基態上? 這個問題在三年後才被包立解決。更出名的一場對談則是海森堡在聽完波爾介紹克拉默斯企圖解決原子光譜在靜電場下的譜線分裂，也就是史塔克效應的方案時，向波爾提出質疑，海森堡指出，古典電動力學能夠處理原子與電磁波交互作用時產生色散現象，那麼當電磁波的頻率趨近於零得到靜電場如何與量子理論銜接? 這個問題讓波爾大為驚豔，兩人在演講後還去林中散步談了好幾個小時。這些當然都看在波恩眼裡，所以當索末菲在1922/1923的冬季學期去美國訪問期間，海森堡就在哥廷根訪問。「Bohr-festival」結束後不到半年，波爾就得到諾貝爾物理獎了，所以「Bohr-festival」在物理史上標示著量子物理邁向緊鑼密鼓的階段，而哥廷根也成為這段波瀾萬丈的歷史的主要舞台之一。
海森堡於1923年拿到博士學位後前往哥廷根，翌年在波恩指導下得到特許任教資格，成為哥廷根的無俸講師。他們合作處理氦原子光譜的問題，但是徒勞無功。 其實海森堡在1922年與索末非曾經嘗試立體的橢圓軌道，得到第一電離能為24.5eV，非常接近實驗值，但是他用了半整數的角量子數，遭到包立與波爾嚴厲的批評，所以他們沒有發表這個結果。波恩與海森堡的結果《Die Elektronenbahnen im angeregten Heliumatom》於1923年五月在 Zeitschrift für Physik 登出。他們的結論是波爾模型完全無法描寫氦原子光譜。此時波恩已經完全沉浸在量子物理之謎的汪洋裡了。波恩在1923年發表的論文《Quantentheorie und Stěrungsrechnung》」（Naturwissenschaften 11, 537-542, 1923）中總結道：
「越來越有可能的情況是，(物理學家)不僅需要提出通常意義上的物理假設，而是必須從頭開始重建整個物理學概念體系。」
「Es wird immer wahrscheinlicher, dass nicht nur neue Annahmen im gew¨ohnlichen Sinne physikalischer Hypothesen erforderlich sein werden, sondern dass das ganze System der Begriffe der Physik von Grund auf umgebaut werden muss.」
但是該從何著手呢? 波恩當時沒有頭緒。很快地到1924年初波爾，克拉默斯與斯拉特發表了BKS理論，引入了虛振子以及虛場的概念，在理論物理引發了一陣騷動，尤其克拉默斯用這套架構，再組合一些古典力學的技巧，得到拉登堡的色散公式。但是BKS理論主張能量與動量的守恆只是統計上成立，而非嚴格成立，這就讓愛因斯坦，包立等人深深不以為然。人在哥廷根的波恩也沒閒著。他在1924年6月，波恩完成了他的論文《論量子力學Uber Quantenmechanik》。在這篇文章中，波恩試圖建立一種方法，將多重週期非簡併系統的古典微擾理論應用到涉及外部週期擾動或內部耦合的量子現象。波恩認為，迄今為止，多電子系統（例如氦原子）的理論，如果按照古典物理方式處理電子的相互作用，那麼由於電子相互作用的頻率與光的頻率相當，因此必然會失效。但物質與光的相互作用顯然是一個「非力學式的」量子過程；因此，我們也不能指望電子之間的相互作用也能按照古典物理的方式處理。波恩隨後提出了一種解決這個問題的方法，就是將克拉默對輻射與電子相互作用的處理推廣到相互作用的「量子力學」。在實施此方案的過程中，波恩證明，如果將計算過程中對作用量微分的步驟替換成差分的話，就可以根據波爾的對應原理，實現從古典力學過渡到他所謂的「量子力學」。
波恩這篇文章之所以特別值得一提，不僅因為它引入了『量子力學』作為未來量子理論的名稱，更因為它奠定了後來哥廷根學派的基調，那就是突顯量子現象與古典物理扞格之處，然後把漢密爾頓力學為基礎，在關鍵處將作用量設定為普朗克常數的整數倍，然後把對連續作用量的微分替換成差分。更重要的是，波恩尋找的是一個新的「力學架構」，而不只是一個新的「光」與物質的交互作用的理論。這分雄心讓哥廷根陣營，從一開始就有更恢弘的眼界。再加上波恩本身的風格原本就不像波爾那樣著重在臆測物理機制，而更著重在物理理論背後的數學結構，這也是最後創立矩陣力學的桂冠落到哥廷根陣營頭上。從波恩在《論量子力學》刻意不提眾人爭論不已的物理機制，而把重心放到克拉默斯在推導色散公式時設立的數學架構，試圖將此推廣到一般力學系統，這個方向無疑是邁向矩陣力學的皇家大道，但是波恩終究缺了臨門一腳:就是如何從古典物理只有一個整數指標的古典共振頻率，過渡到擁有兩個指標的波爾頻率。BKS理論假設了虛振子來引入波爾頻率，但是波恩對這個機制顯然不怎麼熱衷，對此三緘其口。但是虛場決定電子躍遷的機率這個設定，波恩顯然心領神會。事後看來，波恩眼光很精準:他了解到量子現象中最棘手，最難以用古典物理處理的議題就是量子跳躍，因為量子跳躍似乎不遵守傳統的因果律!在1924年的原子動力學講座中，波恩就曾大膽地將量子躍遷歸結為放射性衰變，而放射性衰變的成因尚不清楚。這個講座的內容後來被編輯成書，在1924年11月完成的《終極原子力學》（Vorlesungen über Atommechanik），這本書相當程度上體現了當時波恩的想法。波恩在這本著作的前言中解釋說，他想要描述原子理論現況的限制。這本書運用了漢密爾頓-雅可比方法研究力學，並用很大篇幅探討了單價電子原子如鹼金族原子的光譜。舊量子理論的問題被清晰地呈現出來。波恩為這本書取了個副標題「第一卷」。他宣稱「第二卷」應該致力於探討「終極原子力學」。他稱這是一次大膽的嘗試，因為在這方面人們所知甚少，而且第二卷的完成可能還要幾年。波恩對第二卷（1930年）問世時間的估計是正確的，但他對突破性進展的時間估計錯了。量子力學在接下來的兩年內就已問世了。這本書許多部分是由洪德撰寫的，波恩只略作修改，而關於氦原子的最後一章是由海森堡構思的。
海森堡在國際教育委員會洛克斐勒基金會的資助下，於1924年9月17日至1925年5月1日，前往哥本哈根大學理論物理研究所進行研究。海森堡在哥本哈根在克拉默斯指導下完成了一篇關於色散公式的長篇論文後回到了哥廷根。就在這段期間，量子物理相關的領域發生了許多重大的進展，首先是包立在年初發表了包立不相容原理，宣稱電子擁有「非力學」甚至是「非古典」的自由度，不相容原理甚至暗示著電子之間似乎還能「相互感知」，以保證彼此的量子數必須不同。沒多久愛因斯坦發表了將波色統計運用到單原子理想氣體的論文，他在文章中引述了剛拿到博士的德布羅伊的物質波理論，愛因斯坦以此主張，就算是物質粒子之間也沒有統計獨立性。另一方面BKS理論也被蓋格博特的實驗給推翻了!物理界在一陣天翻地覆中摸索著匍匐前行，前面是無底深淵來是團花錦簇，當時沒人說得準。這段時間波恩在忙些什麼呢?從七月十五日他寫給愛因斯坦的信中可以發現，雖然BKS理論主張的能量與動量的統計性守恆被證實是錯的，但是他對克拉默斯的色散關係的推導仍然無法忘懷，他跟愛因斯坦說“喬丹和我正在系統地……研究經典多周期系統和量子原子之間所有可以想像到的對應關係。”這會有什麼結果？ 事實上，波恩在喬丹的幫助下剛在1925年6月送出一篇關於非週期過程量子理論的論文，在這篇論文中，他們宣稱「真正的自然定律只採用那些原則上可觀察和可確定的量」。當波恩寄出這封給愛因斯坦的信的時候，剛從黑爾戈蘭島回來的海森堡寄來的一份論文草稿還躺在他的書桌上呢。
關於海森堡在黑爾戈蘭島上的突破，阿文在「關於黑爾戈蘭島上的傳說」有詳盡的敘述，就不在此贅述。在此倒是希望從波恩的角度來看待矩陣力學的發展。1925年7月9日，海森堡把後來赫赫有名的〈對於運動學和動力學關係的量子再詮釋〉的論文寄給波恩，希望他能在論文發表前協助審閱。任何讀過這篇論文的讀者大概都會同意，那可真是一篇「奇文」! 如果是任何一個老闆看到自己博士後寄給自己這樣一篇異想天開的論文，可能都要倒抽一口氣，但是波恩很快就掌握到這篇文章的重點:在這篇文章中，海森堡避免使用具體但不可觀測的軌道來描述電子，而是直接用兩個腳標表示躍遷前後狀態來表述量子過程中的物理量。這正是波恩在前一年在《論量子力學》一文中卡關之處，當他看到海森堡用這種簡單粗暴但有效的方法達標時，不知心中作何感想?
波恩為什麼能夠很快就接受海森堡的《量子再詮釋》? 其中一個關鍵就在於波恩在與海森堡一起研究氦原子光譜的過程中，逐漸對古典物理中的電子軌道產生懷疑，物理界中能對此產生共鳴的，除了波恩以外，大概就是包立了。他們都是在研究多電子原子的光譜的過程中不斷地感受到挫敗，所以他們才會釜底抽薪，主張直接從可觀察的物理量下手。但是直到海森堡在黑爾戈蘭島上領悟到光譜問題只是特例，該放棄軌道的不只是在原子中的電子，而是在所有的問題中!所以他從非簡諧振子開始，只能說，英雄出少年，這麼大膽的創舉，只有二十郎當歲的海森堡才敢孤注一擲吧。但即使是海森堡，還是需要波恩的認可。幸運的是波恩能夠很快地掌握到海森堡文章中的核心思想，如果從文獻來分析，其實一點也不意外，因為海森堡的思想源頭不正是來自波恩的「著重在與可測量物理量之間數學架構」的獨特立場嗎，這根本是大水沖倒龍王廟吧，哈哈哈~
薑還是老的辣!波恩閱讀海森堡的論文中注意到海森堡在處理非簡諧振子的問題時把位置寫成兩個指標的物理量之後，把索末菲的量子化條件寫成位置的條件，然後去解位置的運動方程式，基本上遵循的是牛頓力學，但是波恩心中念茲在茲的新力學是漢密爾頓力學，因為只有在漢密爾頓力學中，作用量才會有特殊的地位，這是因為所謂「作用量-角變數」只能在漢密爾頓力學的正則變換下才能順理成章地出現，而索末菲量子化條件也只有針對作用量才說得通，因為普朗克常數的因次與作用量相同。在漢密爾頓力學架構中，動量與位置是平等獨立的物理量，這一點在海森堡的論文中付之闕如。而這正是波恩的洞見。他讓位置與動量都成為兩個指標的物理量，很快就寫出漢密爾頓運動方程式，奇妙的是，他發現先前海森堡引進普朗克常數的條件，從一個莫名其妙的形狀變成這個漂亮的等式：
$$pq - qp = \frac{h}{2\pi i} I.$$
此式的發現完全歸功於波恩。在此等式中，p和q分別代表動量與位置矩陣，I則是單位矩陣。會有如此結果，是因為矩陣乘法並不遵守交換律。波恩難以證明這個公式左側的非對角元素會消失。當時海森堡不在身邊，因為他正在休假，接著準備去哥本哈根與波爾合作，所以波恩嘗試聯絡包立。結果這個頑童居然回答說，他才不要參與他用哥廷根「噁心的數學技巧」來扼殺海森堡的物理謬思! 於是波恩再次求助於喬丹，喬丹很快就找到了所需的證明，因為喬丹在科朗門下學過矩陣。很難想像在當時，矩陣很少被物理學家用到，反倒是常被納入純數學範疇內。古斯塔夫·米曾於1912年在一篇電動力學的論文中用過矩陣，波恩本人在與閔考夫斯基研究四維時空時用過矩陣，後來在1921年的一篇關於晶格理論的論文中又用了一次。但是對一般物理學家而言，矩陣代數在波恩與海森堡提出量子力學的矩陣力學的表述之前都沒有納入物理學的一般課程範圍。在喬丹的協助下，波恩在不久後開始改寫並擴展海森堡的理論。這篇論文《Zur Quantenmechanik》在海森堡的文章發表僅60天後即發表在Zeitschrift f¨ur Physik 。波恩認為他與喬丹合寫的文章包含了「量子力學與其電動力學之延伸中最為重要的原理」。同時，這篇文章也為海森堡的方法奠定了堅實的數學基礎。 此外，他們還將海森堡只算到第二階的非簡諧振子能量本徵值算到第三階。九月底海森堡從哥本哈根回到哥廷根以後，馬上與波恩，喬丹聯合發表了一篇文章《Zur Quantenmechanik II》，這篇文章不只建立一個完整的力學理論，並且寫下了完整的角動量的理論，連類似古典力學的微擾方法也開發出來了，甚至連一維振動弦的量子理論也由喬丹完成，並以此解釋愛因斯坦十幾年前提出的黑體能量漲落公式中的波粒二像性的問題。這篇文章是在十一月底寄出。此時，保羅·狄拉克也在沿著與海森堡類似的思路發展量子理論。不久之後，包立約莫在同時利用矩陣計算得出了氫原子的能量值，矩陣力學宣告大功告成。但是包立拖到隔年年初才送出論文，幾乎與薛丁格的第一篇波動力學的論文同時。這讓哥廷根陣營還來不及慶祝，就陷入苦戰之中。因為打從一開始，波動力學就大受歡迎，相較於就算是內行專家也無法了解的矩陣力學，薛丁格方程式在當時對許多人有巨大的吸引力，因為這一理論提供了回歸古典物理決定論的可能性。事實上，根據當時在慕尼黑的漢斯·貝特的回憶:
在我的回憶中 沒有人說“矩陣力學的演算法。” 沒有人知道，海森堡如何得到矩陣力學，它與簡諧振子的偶極矩的光譜分辨率或類似的東西有關 - 從來沒有。 更晚點，大概早在’1928年左右“，索末非就說過：”當然，我們真的相信海森堡對物理學知之甚詳，但是我們還是用薛丁格(方程式)來計算。“...............
波動力學另一個大受歡迎的原因是在薛丁格的理論中。波函數必須在邊界上保持良好的數學行為，由此自然而然地只有特定的能量值能夠允許，這闡明了當時科學界最為大惑不解的能量量子化之謎，反觀在矩陣力學中，能量量子化一開始就必須設定好，所以物理量才能有兩個指標，乍看之下，薛丁格理論似乎更勝一籌。無怪乎1926 年薛丁格受邀到慕尼黑大學的邀請時受到熱烈歡迎，當薛丁格發表演講時，坐在底下的海森堡不以為然地碎碎念的時候，主持演講的慕尼黑大老，當年差點把海森堡當掉的維恩當場怒斥海森堡，差點把他攆出會場呢!
波動力學當時深受歡迎除了比起矩陣力學好學好算之外，還有一個最大的優勢，就是它提供了生動的物理圖像。的確，矩陣力學最為人詬病的就是不再提供任何的物理圖像，說到底，它是一群矩陣組成的數學迷魂陣，任何人面對矩陣元素都無法產生一絲一毫的直覺。相對地，波動力學提供的圖像可豐富了，有波峰。有波谷。有節點。特別是拿來研究粒子之間的碰撞更是天造地設，而這正是當時矩陣力學最大的痛腳。但是波動力學的罩門隨著相應理論工作的開展，卻也逐漸被彰顯出來，那就是波動力學的主角，波函數，到底與相應的粒子的關係是什麼?物質波的始用俑者德布羅伊嘗試讓粒子與波同時存在，而讓波導引粒子的運動，但是這個想法在數學上遇到許多困難;另一方面薛丁格與其他人逐漸發現波動力學與矩陣力學在數學的等價性，但是對於矩陣力學中根深蒂固的量子跳躍在波動力學中如何描述，卻是大傷腦筋。另一個麻煩的問題是薛丁格一直認為波函數是實存於物理空間的物理對象，但是要推廣到多粒子系統時，卻不得不承認，這個想法難以實現。雖說如此，當時還是有許多人認為波動力學的波也許難以掌握，但終究是真實的物理現象，但是波恩卻並不這麼認為，因為這與實驗事實並不吻合。正如同海森堡在慕尼黑聽到薛丁格的演講後當下第一個的反應:那光電效應呢? 電子的粒子性早在1890年代末就被大家所公認，怎麼讓電子能夠同時又是粒子又是波動?波恩認為這無法從電子的光譜得到答案。他從哥廷根的同事，法蘭克那邊知道電子與惰性氣體原子時會發生古典物理無法解釋的冉紹爾-湯森效應，波恩的學生，洪德的博士論文就是研究這個效應，所以波恩嘗試用波動力學來研究粒子散射。他在麻省理工學院訪問時，與曾在哥廷根上過希爾伯特的課的美國數學家諾伯特·維納（Norbert Wiener，1894—1964）合作，企圖把矩陣推廣成算子，讓矩陣力學也能處理非週期性運動，他們在1926年共同發表了一篇論文，但還不夠完善，反倒是薛丁格把這個過程給補齊了。波恩用薛丁格的方法研究散射來尋找波函數的意義，然後在1926年7月發表了《Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge 碰撞過程中的量子力學》。在這篇論文中，波恩解了一個散射問題的薛丁格方程式，並受到愛因斯坦及其光電效應機率規則的啟發，文章正文指出，振幅“給出了機率”，而證明中添加的腳註則指出，概率與其振幅的平方成正比。換言之，薛丁格方程式中的ψ*ψ給出了後來成為學界標準的機率密度函數詮釋。所以波函數本身只是產生機率的工具，而波函數對應的物體仍然表現出粒子性，具體的表現就是碰撞過程中，能量與動量都是嚴格地守恆。換句話說，每次碰撞都是粒子的碰撞，但是單獨一次的粒子碰撞到底發生在何時何地，卻無法得到答案，因為相應的波的行為決定了碰撞發生的某處的機率，就這樣局所性與非局所性漂亮地結合在一起，完美解決了電子波粒二象性的難題。波恩在論文中這樣宣稱:
我們無法回答「碰撞後的狀態是什麼？」這個問題，而只能回答「碰撞的某個特定結果發生的機率有多大？」這個問題…基於我們的量子力學原理，不存在任何量可以決定單一基本過程的碰撞結果。
這等於大膽宣告古典物理中的「定命性」的終結! 雖然自從波爾引入量子跳躍以來一直令人懷疑傳統物理中對因果關係的堅持是不是遭到破壞，但是直到波恩的宣告才讓科學界恍然大悟! 在量子的世界中，有此因必有彼果的鐵則居然轟然倒塌了。這當然令許多同行感到難以消受!在1926年12月4日一封寫給波恩的信中，愛因斯坦對量子力學做出了一道著名的評述：
量子力學固然是堂皇的。然而我的內心中卻有一道聲音告訴我，它還不是那回事。這理論說了很多，但並沒有真正的帶領我們更加接近「那位老頭子」的秘密。我，無論如何，深信「那位老頭子」不是在擲骰子。
„Die Quantenmechanik ist sehr achtunggebietend. Aber eine innere Stimme sagt mir, daß das noch nicht der wahre Jakob ist. Die Theorie liefert viel, aber dem Geheimnis des Alten bringt sie uns kaum näher. Jedenfalls bin ich überzeugt, daß der nicht würfelt.“
這段話後來常被引用為「上帝不擲骰子」。 順便一提的是愛因斯坦拿來描寫「那位老頭子」的Der Wahre Jacob 原本是一本德國社會民主黨的雙周刊，這份政論雜誌怎麼變成「上帝」的代名詞，只有愛因斯坦跟波恩這兩個摯友才知道謎底，阿文猜這八成是兩個人之間的專用的戲謔密語吧。
物理的時代之輪加速向前!波恩的工作啟發了包立，讓他提出「動量空間」的概念，換言之，波函數不只可以用位置座標來描述，也可以用動量來描述，兩者的關係可以用對易關係推導出來，正是傅利葉變換。也就是說，就算物質波這個概念從來沒出現過，只要從波恩的對易關係出來，所有波動力學的方程式都可以推演出來。到了1927年年初，波爾與海森堡在哥本哈根針鋒相對地激辯一番後，海森堡終於提出了赫赫有名的「測不準原理」，徹底將愛因斯坦，薛丁格與德·布羅伊等試圖把物理中的嚴格因果律搶救回來的希望給摧毀殆盡。任何系統的位置與動量，根本無法同時精確地測量，而追根究底，這竟也是波恩發現的對易關係所造成的! 從此量子力學可以說是毫無懸念地建立起來了!
在1927年出版的《原子動力學》英譯本的前言中，波恩指出，海森堡和薛丁格已經解決了他在1924年發現的許多問題。他授權將這部過時的著作譯成英文，理由是他認為有必要闡明波爾的奮鬥和才華，以及海森堡和喬丹所參考的資料。他說: 「《原子動力學》「為我們應歸功於海森堡的核心一步鋪平了道路」。話說的謙虛，不過哥廷根與波恩在量子力學的發展過程中還是扮演著吃重的角色，波恩更是將「量子福音」傳向萬邦的關鍵人物之一，這些就留到下回再來位各位細說分明吧，我們下回見!
參考資料:
(一)中文 英文 德文維基相關條目
(二) The Development of Elementary Quantum Theory from 1900 to 1927 ，by Herbert Capellmann
(三) Matrix Mechanics Mis-Prized: Max Born's Belated Nobelization , by
John L. Heilbron and Carlo Rovelli
(四) Max Born, G¨ottingen and Quantum Mechanics , by K. Sch¨önhammer
文章封面照片取自 由 GFHund - 自己的作品, CC BY 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=11347147
