上一回阿文介紹了數學大師，萊昂哈德 · 尤拉的前半生，我們就從他接受腓特烈大帝的邀請，離開俄羅斯來到普魯士的首都柏林，當作這一回的起點。各位讀者可能會好奇，後來被尊稱為腓特列大帝的腓特烈二世為什麼會想招募像尤拉這樣的名士來到柏林呢？這可就說來話長，阿文得要從腓特烈大帝如何變成史上著名的特立獨行的「怪咖」開始說起。
腓特烈二世雖然身為普魯士王國的王位繼承人，自幼就在他的父親「士兵國王」腓特烈 · 威廉一世嚴格和軍事式的教育下長大，然而腓特烈本人受到母親的影響，醉心於法國文化，尤其是對法國的文學藝術情有獨鍾，並且一再與鄙視法國文藝的父王發生衝突。到了 1730 年，他甚至為了反抗其父強加在他身上的婚姻，嘗試和密友漢斯 · 赫爾曼 · 馮 · 卡特（Hans Hermann von Katte）一起逃到英國去，但這個計畫形跡敗露，結果兩人都被囚禁在現在德波邊境的小鎮昆斯特林，國王下令在腓特烈眼前將卡特斬首！卡特死後，腓特烈好像變了一個人似的，他向父王道歉並得到寬恕後，從監獄釋放。作為交換條件，他的父親從此不再干涉他的愛好與研究。但是相對地，腓特烈必須學習軍事和政治。當腓特烈 · 威廉一世於 1740 年過世後，腓特烈二世順利登基，此時年方 28 歲。他登基後不久，就向全歐洲的才智之士招手，希望讓自己統治的普魯士能成為不亞於法蘭西的文明之國。當時俄國政局混亂，所以尤拉欣然接受腓特烈二世的邀請，前往柏林。尤拉於 1741 年 6 月 19 日離開聖彼得堡，7 月 25 日抵達柏林。就這樣，尤拉在柏林展開他人生最活躍的一段時光。即使在他待在柏林的期間，尤拉仍繼續從俄羅斯領取部分薪水。他用這筆報酬為聖彼得堡學院購買書籍和儀器，繼續為他們撰寫科學報告，並教育年輕的俄羅斯學生。尤拉在給朋友的信中寫道：
我可以做我想做的事……國王稱我為「他的教授」，我認為我是世界上最快樂的人。
尤拉絕對沒有料想到 25 年後，他會與這個殷勤有禮的年輕國王鬧到不歡而散，黯然離開柏林吧。
尤拉到達柏林的時候，正值奧地利王位繼承戰爭（Österreichischer Erbfolgekrieg）打得火熱之時，在這場戰爭中腓特烈二世首次顯露他的軍事才能。到了 1742 年 6 月初，奧地利為了避免多線作戰，對普魯士提出暫時休戰，腓特烈二世才回到柏林，並在 1744 年初，將原有普魯士科學院與 1743 年在柏林成立的新文學學會合併，成立了皇家科學院。1744 年新的柏林學術院成立時，法國學者莫佩爾蒂擔任院長，尤拉則擔任數學部主任。當莫佩爾蒂不在柏林的期間，尤拉就代理莫佩爾蒂的職務，兩人後來成了莫逆之交，也因此種下尤拉捲入後來的人事紛爭的遠因。這件事在先前介紹莫佩爾蒂的文章中提過在此就略過了。
尤拉雖然不是柏林學術院的院長，但是他所完成的任務遠超過他的職位所要求。他不僅負責監督天文台和植物園； 選擇行政人員； 監督各種財務事宜； 還要管理各種日曆和地理地圖的出版，因為銷售這些東西是學院的收入來源。不僅如此，腓特烈二世也不吝向尤拉提出了各種實務的要求，例如 1749 年要求他糾正菲諾運河水位的計畫等等。尤拉還兼任監督皇家夏宮無憂宮液壓系統的泵浦和管道，在學院負責圖書館，在科學出版物的委員會任職等。此外他擔任政府在國家彩券、保險、年金、退休金和大砲研發方面的顧問。尤拉甚至也曾著手寫流行的科學出版物《給德國公主的信》（3 卷，於 1768年至 1772 年出版，這是尤拉在 1760 年至 1762 年間寫的，寄給勃蘭登堡-施韋特的弗里德里克 · 夏洛特公主和她的妹妹路易絲的一系列 234 封信，內容是介紹科學知識），簡直變成萬事通先生了。
但是繁重的行政工作並沒有阻礙尤拉在科學的各個領域取得驚人的研究成果。他在柏林度過的 25 年裡，一共寫了約 380 篇文章。在這段期間，普魯士科學院成了當時歐洲科學研究除了巴黎以外的另一個中心，特別是數學與物理，而尤拉無疑是整個學院的靈魂人物。從宏觀的角度來看，十八世紀數學與物理最核心的發展應該是建立分析學，而分析學能成立的前提是成熟的函數的概念，這一點尤拉居功厥偉。他在 1748 年發表的《Introductio in analysin infinitorum》中將約翰 · 白努利修改函數的定義使其更加精確，尤拉指出數學分析不多不少，正是對函數的研究。他指出必須將微積分建立在初等函數理論的基礎上，而不是像之前那樣基於對幾何曲線的研究，這等於打開了一扇通往一般化的大門。尤其像是多變數函數的研究往往難以產生幾何直覺，現在都不成問題了。尤拉在這項工作中給出了著名的公式，就是將指數與三角函數聯結起來的
在《Introductio in analysin infinitorum》中，尤拉還定義了複數的對數，雖然他拖到 1751 年才發表了完整的複數對數理論。挾著他超凡的分析能力，他在這一段時間最重要的成就，莫過於他樹立解析力學的整個基本架構，並且將它的適用範圍從質點系統一口氣擴展到剛體，彈性材料，乃至於流體的偉大功績。他的豐功偉業似乎沒有在現在的物理課程中得到恰如其分的評價，阿文覺得相當可惜，所以就在此好好地記上一筆，讓大家感受一下尤拉的榮光吧。
尤拉的肖像，油畫作品收藏於巴塞爾美術館
（圖片來源：維基共享資源 Leonhard Euler）
正如上一回提到，尤拉在 1744 年出版的《尋找平面曲線的方法》開創了變分學這個全新領域，雖然與尤拉同時代的數學家也能夠處理這些問題，但是他們都是針對特定問題設計特殊的解決方法，但是尤拉發展出普遍的方法，完全改變了變分學的內容！此外在這本書中，尤拉也讓「最小作用量原理」從一個形而上學的臆測轉而成為物理的核心原則，即使到了二十一世紀物理學依然是在尤拉創造的數學架構內運行呢！除了建立解析力學的整體架構之外，尤拉待在柏林的這段時間，他與巴黎的數學家們互動頻繁，他們聯手將牛頓的質點力學擴展到剛體，彈性材料乃至於流體的運動。我們今天熟悉的解析力學中各種具體內容，就是在這段時間逐漸成為我們今天熟悉的模樣。所以說，不僅解析力學的骨架是尤拉建立的，連它的血肉也是尤拉與巴黎數學家共同賦予的。不過他與巴黎的數學家之間的關係並不和諧，相反地，他們彼此之間不斷地爭吵，最後甚至造成尤拉必須離開柏林的結局。但是不可諱言的，達朗拜，克萊羅，丹尼爾 · 白努利與尤拉都是打造解析力學不可或缺的功臣。先前我們已經介紹了達朗拜，克萊羅的貢獻，在這裡我們就以尤拉的眼光再重新檢視一遍吧。
讓我們先從剛體開始，所謂剛體指的是在其內部的任何兩個質點的距離都不會改變的系統。1750 年，尤拉在柏林科學院提交了一份手稿，題為《Decouverte d’un noveau principe de mecanique》（發現力學新原理），他提出了第一個版本以他的名字命名的「尤拉方程式」。他先從剛體的重心固定時，要如何決定剛體的「所有可能的運動模式」這個問題著手。為了實現這一點，尤拉引入了「瞬時旋轉軸」的概念。事實上，這個概念早在達朗拜的《歲差研究》中，就曾針對地球的情況提過這個概念，但是尤拉卻是以普遍的方式證明了這種軸的存在。用尤拉的話來說：「假設靜止固體的重心…我將在下文中證明無論該物體是否運動，不僅重心將保持靜止，而且在經過重心的直線上還會存在無數個點，這些點同樣也不會運動。這就是說，獨立於運動的物體，它在每個瞬間都應存在一個繞著重心軸線旋轉的運動」。尤拉勝過其他當代學者之處就在於他將特例推廣成一般情況的功力。尤拉後來在 1765 年，發表了另一部重要的力學著作《Theoria motus corporum Solidorum》，其中他將剛體的運動分解為直線運動和旋轉運動。他考慮了「尤拉角」並研究了分點進動問題引發的旋轉問題。我們在物理系大二教的剛體力學，就是尤拉一手建立起來的，像是轉動慣量以及主軸這些概念都來自尤拉，當然，後續拉格蘭日也做了不少，可以說兩個人是「剛體動力學」的共同奠基人也不為過。
力學的適用範圍當然不限於剛體。另一個尤拉研究的對象是擁有彈性的固體。尤拉-白努利樑理論（Euler–Bernoulli beam theory）就是研究橫樑彎曲的位移與載重的關係。尤拉-白努利樑理論的歷史可以追溯到 18 世紀。雅各 · 白努利（Jacob Bernoulli，1654-1705）首先發現彈性樑的曲率與該點的彎矩成正比。雅各的侄子，丹尼爾 · 白努利，則是第一個把振動樑的運動方程式寫成微分方程的人。尤拉在其對彈性形狀的研究中接受雅各 · 白努利的理論。尤拉接著提出各種荷載條件下的梁的彈性曲線。雖然尤拉-白努利的樑理論往往會稍微高估固有頻率，對於更高模式的固有頻率，問題會更加嚴重，而且細長樑的預測效果通常優於非細長樑，但是由於理論形式簡單而且能夠為許多問題提供合理的工程近似值。尤拉對工程科學的貢獻可不僅止於此，像是尤拉泵和渦輪方程式（Euler's turbomachine equation）是渦輪機械領域最基本的方程式。借助這些方程，可以輕鬆確定泵浦產生的揚程和渦輪機所使用的揚程。這些方程式是由尤拉在 1752 年所提出的。當應用於泵浦或渦輪機時，這些方程式可以從動量方程式導出。如果我們仔細去觀察西歐文明與世界其他文明勢力的消長，十八世紀下半葉絕對是一個關鍵的時刻，而發展解析力學的諸位大師其實正是關鍵人物，這點日後阿文當另撰他文，在此就此打住。
研究彈性材料勢必要研究振動問題，連續介質振動的精確處理可以在胡克（1635-1703）於 1660 年發現的彈性基本定律、牛頓第二運動定律（1687）和萊布尼茨(1646-1717) 的微積分中找到。既然研究了一般的振動，那麼下個目標自然是弦的振動，因為這是非常普遍的現象，又與音樂有密切相關。以泰勒展開聞名的英國數學家布魯克 · 泰勒（Brook Taylor，1685-1731）首先於 1715 年就在他的著作《Methodus Incrementorum directa et inversa 正反增量法》中提出了關於振動弦的討論。丹尼爾 · 白努利（Daniel Bernoulli，1700-1782）住在聖彼得堡（1727-1733）的時候開始研究彈性體力學，他嘗試計算彈性線在力的作用下可以呈現的形狀，他定義了弦的固有頻率和振動節點，並表明弦的運動是由無數個疊加的諧波振動組成的（Bernoulli，1740）。尤拉也約略同時研究了無質量的彈性弦的自由振動（Euler，1749）。接下來達朗拜（1717-1783）在1749 年至 1752 年間在柏林學院的會刊上發表了三篇關於弦振動問題的論文。在前兩篇文章中，他在研究了振動弦之後發展出線性微分方程組的積分方法。他使用了一種新的數學工具來確定振動拉伸弦在每個時刻的位置：偏微分。這兩篇論文現在被認為構成了第一個名副其實的偏微分方程理論的基礎。偏微分方程理論隨著達朗拜的出現而成為分析學的一個新分支；達朗拜闡述了有關微分形式可積條件的初步研究和方法。達朗拜的作法十分巧妙，原創性十足，但是在第三篇論文中他在方程解中引入任意函數做為起始條件，這篇論文本身造成達朗拜與尤拉關於振動弦問題的解決方案長期爭論的起點。尤拉、達朗拜和丹尼爾 · 白努利之間的激烈討論持續了幾十年。這場爭議涉及函數的概念和領域作為微分和積分的直接應用。這場爭論最終讓尤拉在 1767 年發表了一篇論文主張任意函數應該在更一般的意義上被理解。這也意味著分析方法應該擴展到更廣義的函數，而非如過去所認定是通用的一些基本的函數的組合。關於波動方程式的解這個問題後續還有發展，後來拉格蘭日展示了如何獲得該問題的解決方案。他使用了弦振動的離散質量模型，該模型由沒有質量的弦連接的 n 個質量組成。 他解了 n + 1 個微分方程組，其中 n 趨於無窮大，由此拉格蘭日得到與尤拉相同的函數解。但是要等到 1822 年，傅立葉（1768-1830）在他的《熱的解析理論 1822》，他提出任何函數都可以寫成周期為整數因數的正弦和餘弦三角函數的無限和。才算徹底解決了這個問題。有趣的是拉格蘭日堅信只有特殊和規則的函數才可以用三角級數來表示，所以他始終反對傅立葉的工作呢。
除了剛體，彈性材料，尤拉對流體動力學也有許多貢獻。尤拉從年輕時就對造船和航海術有興趣，所以他對流體力學著力甚深也就不足為奇了，他在 1750 年代發表了許多相關的重要著作，流體力學中的連續性方程式和描寫無黏滯性的不可壓縮流體運動的尤拉方程式都是他提出的。尤拉在 1752 年曾自豪地寫道：
無論白努利、克萊羅和達朗拜先生對流體的研究多麼崇高，它們都如此自然地從我的兩個一般公式中流露出來，以至於人們無法充分欽佩他們深刻的沉思與我所得出的原理的簡單性的這種一致性。
事實上，尤拉與達朗拜可以說幾乎在所有的問題上都針鋒相對，這其實不僅與他們的風格有關，也跟他們怎麼看待物理與數學的互動有莫大的關聯。達朗拜悖論就是一個最好的例子。他在 1752 年發表了一篇論文，在論文中他證明了假設一個物體浸入無界流體中，並相對於該流體以恆定速度運動，如果流體是無黏性且不可壓縮的話，則流體對物體沒有施加阻力。這個結果被稱為是達朗拜悖論。之所以被稱為悖論是因為這與實驗證據相反，也與一般經驗格格不入，但是對達朗拜來說，在所有科學知識中，數學是最接近純粹理性的，因為他的對象本身就具有本質性。此外，數學也展示了實現推理確定性的方法。如果我們檢視達朗拜的科學軌跡，就看到他對分析中過分重視概念而漠視物理的直覺。相較之下，尤拉就不像達朗拜那樣不食人間煙火了。在柏林的期間，尤拉甚至潛心研究過關於火砲和彈道學，主要是將羅賓斯的砲術新論加以擴展。尤拉在 1745 年撰寫本傑明 · 羅賓斯（Benjamin Robins）於 1742 年出版的《槍砲新論》（New Principles of Gunnery）的廣泛評論中，針對二維物體或軸與其運動對齊的軸對稱物體得到與達朗拜相同的結論。經過嚴格的分析，尤拉意識到這個結論與空氣和水等流體的經驗相衝突，所以他利用羅賓斯的步槍彈實驗來解釋這種異常現象，因為物體前部的流體壓力比後部更大是來自於流體密度對應的前後不對稱。本質上，他透過拿掉流體不可壓縮性的假設來解決這個明顯的悖論。不過流體力學並沒有在尤拉手上完成。雖然第一份印有尤拉方程式的出版物是尤拉寫的《流體運動的一般原理》（Principes généraux du mouvement des fluides），發表於 1757 年，刊載於《柏林科學院論文集》（Mémoires de l'Academie des Sciences de Berlin）。它們是最早被寫下來的一批偏微分方程式。但是在尤拉發表他的研究之時，方程組只有動量方程式及連續性方程式，因此只能完整描述非壓縮性流體；在描述可壓縮性流體時，會因條件不足而不能提供唯一解。要等到在 1816 年，拉普拉斯添加了一條方程式，第三條方程式後來被稱為絕熱條件。不過這也看得出來，在尤拉的時代，熱力學還沒有跨入科學家的眼界中，這要等到下個世代才開始。尤拉終究還是受到時代限制的凡人呀。
尤拉在天文學方面也有許多貢獻， 像是他曾與克萊羅一起研究月球理論與三體問題，他與克萊羅還差點提出修正牛頓的萬有引力定律，這些事蹟先前在介紹克萊羅的文章提過，就不在此贅述了。值得一提的是托拜厄斯 · 梅耶爾 (Tobias Mayer) 使用尤拉的月球理論來建立他的月球表。 1765 年，梅耶的遺孀從英國政府那裡獲得了 3000 英鎊，以獎勵這些表格對經度確定問題的貢獻，而尤拉則從英國政府獲得了 300 英鎊，以表彰他對這項工作的理論貢獻。尤拉名揚全歐已經是不爭的事實。
雖然有這麼多成就，但是他在柏林卻愈來愈不愉快。1759 年莫佩爾蒂去世之後，尤拉實質上接下了領導柏林科學院的任務，但是腓特烈二世卻始終沒有真除尤拉院長的頭銜。名義上由國王全面負責，儘管尤拉早年頗國王的尊重，但他現在與腓特烈二世的關係日益惡化。尤拉曾在科學問題上與達朗拜爭論過，所以當腓特烈在 1763 年邀請達朗拜擔任學院院長時，尤拉感到非常不安。然而，達朗拜拒絕搬到柏林，但是腓特烈繼續干涉學院的運作，後來兩人甚至因為科學院販賣年鑑當作經費過程發現有人貪汙而發生激烈的爭吵，這讓尤拉萌生不如歸去之意。
1762 年後世稱為凱薩琳大帝的葉卡捷琳娜二世 · 阿列克謝耶芙娜（Yekaterina Alekseyevna；1729—1796）發動政變取得政權後，展開一系列的新政。同時她也開始對歐陸的一流學者們招手，尤拉雖然開出一些條件：像是年薪 3000 盧布、給予他妻子撫恤金（如果他逝世）以及承諾將他的三個兒子任命到學院高職位等。這些要求也都蒙女皇大方應允。於是尤拉於 1766 年接受了俄國皇家科學院的邀請，重返聖彼得堡。腓特烈雖然對他的離開感到非常火大，但是木已成舟，他也只能放尤拉走人。
回到俄羅斯後不久，尤拉就因為眼疾幾乎完全失明。就在 1771 年他的家被大火燒毀，他只能保住自己和他的數學手稿。火災發生後不久（仍是 1771 年），德國著名眼科醫生溫澤爾（Michael Johann Baptist von Wenzel）爵士應葉卡捷琳娜二世的邀請，前往聖彼得堡為尤拉治療眼睛。溫澤爾為尤拉動手術將左眼的白內障摘除了，尤拉的視力一開始似乎恢復了，但手術幾天過後，病情急轉直下，最終他還是失明。這跟大音樂家巴哈的遭遇如出一轍，只是巴哈更慘，受術後沒多久就中風病逝了。尤拉儘管眼睛失明，仍然憑藉著極強的心算能力和記憶力，他的生產力幾乎沒有被影響。他將自己的研究成果口授給一位助手，助手再用德語記錄下來。在助手的幫助下，尤拉的出版頻率甚至變快，1775 年，他平均每周就完成一篇數學論文。尤拉一生中近一半的作品，都是在重返聖彼得堡後這一時期所創作的。像是《Institutiones calculiintegralis》（1768-1770）中，尤拉對可以用初等函數表示的積分進行了徹底的研究。 他特別研究了他在 1729 年首次引入的貝他（beta) 和伽馬（gamma) 函數。這些函數被法國數學家勒讓德稱為「第一類和第二類尤拉積分」，但是 Binet 和 Gauss 分別將它們命名為 beta 函數和 gamma 函數。這些研究在數學物理中極為重要，學過大二應數的物理系一定都不陌生。
當然，尤拉在晚年擁有許多能幹的助手，否則他的作品就無法達到如此出色的水準。 他的兒子約翰 · 阿爾布雷希特 · 尤拉（Johann Albrecht Euler）和克里斯托夫 · 尤拉（Christoph Euler）都是他的得力助手，約翰 · 阿爾布雷希特於 1766 年被任命為聖彼得堡學院物理系主任（1769 年成為學院秘書），克里斯托夫則是投身軍旅。 此外，尤拉也得到了學院的另外兩位院士阿爾布雷希特、克拉夫特（W. L. Krafft）和萊克塞爾（A. J. Lexell），尤拉將 1772 年出版的 775 頁的關於月球運動的著作歸功於他們兩人的幫助。1772 年從瑞士受邀來到學院的年輕數學家福斯（N. Fuss）也幫了尤拉許多。福斯在他擔任尤拉研究人員的大約七年時間裡，幫助尤拉準備了 250 多篇文章以供發表。福斯後來成了尤拉的孫女婿。
尤拉雖然數學能力宛如神明，但是終有一死，尤什克維奇這樣描述了尤拉去世的那天：
1783 年 9 月 18 日，尤拉像往常一樣度過了前半天。他給他的一個孫子上了一堂數學課，用粉筆在兩塊板上做了一些關於氣球運動的計算；然後與萊克塞爾和福斯討論了最近發現的天王星的行星軌道異常。下午五點左右，他腦溢血，只說了一句「我快死了」就失去了知覺。晚上十一點左右他過世了。一個多月後他的老仇家，達朗拜也在巴黎病逝，這一年可以算是數學的十八世紀的終了。
il cessa de calculer et de vivre——「他停止了計算和生命」
誠哉斯言!
尤拉去世後，聖彼得堡學院繼續出版尤拉未發表的著作近 50 年。但是這還不夠。到了1907 年，瑞士科學院成立了尤拉委員會，並委託出版尤拉全集。 經過 19 世紀的幾次延期後，《Opera Omnia》第一卷於 1911 年出版。然而，新手稿的發現繼續增加了這個項目的規模。幸運的是，尤拉全集《Opera Omnia》的出版穩步推進，到 2022 年出版了 80 卷。這些卷分為四個系列。 第一個系列彙編了分析、代數和數論的著作； 它由 29 卷和 14,000 多頁組成。第二輯共 31 卷，共 10,660 頁，包含力學、天文學和工程學的著作。系列 III 包含 12 卷實體內容。系列 IV 包含大量尤拉通信、未出版的手稿和筆記，直到 1967 年才開始編寫。該系列預計將涵蓋 16 卷，其中 8 卷已於 2022 年出版。這麼浩瀚的內容讓人很難想像是血肉之軀一生所為！正如拉普拉斯所言：「Read Euler, read Euler, he is the master of us all.」，尤拉不愧是古往今來難得一見的大師呀！
參考資料
[1] 中文 英文 德文 俄文維基相關條目
[2] D’Alembert and the Wave Equation: Its Disputes and Controversies
