在物理教科書與科普文章中，我們常會看到一些具有哲學意味的敘述：光線會走時間最短 (shortest time) 的路徑；粒子會沿著具有最小作用量 (least action) 的軌跡運動；肥皂泡膜會選擇具有最小表面積 (least area) 的形狀；熱力學系統會朝最低自由能 (the lowest free energy) 的狀態演化；在有重力場的彎曲時空裡，不受其它外力作用的粒子會走最長原時 (longest proper time) 的世界線 (world line)。這些說法常讓人產生一種錯覺，好像自然界本身具有意識，能在無數可能性中挑選出最好的結果。其實這些表面上看起來具有目的性的結果都可以符合因果律 (causality) 或是最大可能性 (highest probability) 的合理解釋。
在 5 年前的文章《因果律與極值原理—漫談哈密頓原理的量子力學根源》以及 2 年前的《為何要學習古典力學？聊聊古典力學與量子力學的神祕關係》裡，我們曾簡要地介紹了古典力學 (classical mechanics) 的三種基本形式：牛頓力學 (Newtonian Mechanics) ，拉格朗日力學 (Lagrangian Mechanics)，以及哈密頓力學 (Hamiltonian Mechanics) ，以及後兩者與量子力學的神祕關係。這三種古典力學的形式雖然公式不同，但彼此是等價的。拉氏與哈氏力學的關鍵物理量分別是拉格朗日函數 (Lagrangian) $L(q,\dot{q})$ 與哈密頓函數 (Hamiltonian) $H(q,p)$，且後者可藉由勒壤得轉換 (Legendre transformation)
由前者得到。只要知道拉氏函數 $L(q,\dot{q})$ ，就可以根據最小作用量原理 (least action principle) 或哈密頓原理 (Hamilton’s principle)
導出歐勒-拉格朗日方程式 (Euler-Lagrange equation)
而這就是拉格朗力學的運動方程式 (equation of motion)。藉由前述提到的勒壤得轉換，再搭配廣義動量 (generalized momentum) 或正則動量 (Canonical momentum) 的定義
就可以將方程式 (3) 這 s 個關於 $q_j(t)$ 的二階微分方程式轉換為 s 對關於 $q_j(t)$ 與 $p_j(t)$ 的微分方程式
而這就是哈氏力學的運動方程式。事實上，(3) 式與 (5) 式都是符合因果律的描述方式，且都可以由原來的牛頓力學運動方程式推導出來。在給定初始位置 $q_j(0)$ 與初始動量 $p_j(0)$ 或初始速度 $\dot{q}_j(0)$ 的條件下，它們都給出確定的軌跡。此軌跡可視為是在符合因果律的條件下，從初始條件演化出來的。同一條軌跡，若根據 (2) 來看，就變成是在給定初位置與初時間，以及末位置與末時間的條件下，從無窮多個可能軌跡中選出的唯一符合極值條件的軌跡。
當需要探討此力學系統的量子力學效應時，那些沒有被選出來的路徑就會扮演不可忽略的角色。當我們知道拉氏函數 $L(q,\dot{q})$ 時，可採用費曼路徑積分 (Feynman's Path Integral) 的方法。每一條連接出發點1 與到達點 2 的曲線路徑 (path) 都有一個對應的作用量 (action) $S_{\mathrm{path}}=\int_{1}^{2}L_{\mathrm{path}}\,dt$ 以及關於它的相位因子 (phase factor) $e^{iS_{\mathrm{path}}/\hbar}$；只要把這些相位因子全部加起來，就得到粒子由點 1 到點 2 的量子躍遷振幅 (quantum transition amplitude)。另一種方法是把哈密頓函數 $H(q,p)$ 裡的動力學變量 (dynamical variables) (位置 $q$、動量 $p$) 都改為對應的算符 (operator) $\hat{q}$、$\hat{p}$，與然後就可以根據哈密頓算符 (Hamiltonian Operator) $\hat{H}$ 寫出薛丁格方程式 (Schrödinger's Equation) $i\hbar\partial_t\lvert\psi\rangle=\hat{H}\lvert\psi\rangle$ 並探討量子效應。這兩種量子描述也是等價的。事實上，根據哈密頓算符 $\hat{H}$ 構造出演化算符 (evolution operator) $\hat{U}(t)=e^{-i\hat{H}t/\hbar}$ 並將時間按順序「切片」，就可以推導出路徑積分的公式。
以上關於古典力學與量子力學的整套劇本可以很自然地推廣到其他物理領域。考慮一個由許多小球與彈簧連成一線的振動系統，其中每兩顆相鄰的小球間連著一根彈簧。這個系統的拉氏函數可以很容易寫下，然後藉由前面提到的手續就可以得到古典或量子版本的描述。前述粒子的座標 $q_j(t)$ 現在被小球相對於其平衡位置的小位移 $u_n(t)$ 取代，其中 n 是小球的位置編號。更進一步，當我們把這個彈簧—球的振動系統換成一根拉緊的弦時，前述 $u_n(t)$ 就被波振幅 (wave amplitude) $u(x,t)$ 取代。此處 x 雖然也是位置，但它取代的是原來的位置編號 n 而不是 $q_j(t)$，因此它只是一個參數而不是動力學變量。由於離散的振動系統被換成連續的波系統，原來公式中一個小球或一對小球所貢獻的那一部分拉氏函數就換成拉氏函數密度 (Lagrangian density) 乘以一個遠小於波長的線段長度，而總拉氏函數就變成拉氏函數密度沿著弦的線積分。這樣的概念可以推廣到三維，且波振幅也不限於只有一個分量，這樣就形成了物理上所謂的場論 (field theory)，而極值原理 (2) 就寫成
此處 $\mathcal{L}(u,\partial_t u,\nabla u)$ 就是拉氏函數密度，而積分中的空間包含場所存在的所有空間範圍，而積分的時間範圍與 (2) 式一樣，是在 $t_1$ 與 $t_2$ 兩個不同的時刻之間的時間。拉氏函數密度 $\mathcal{L}$ 之中出現的 $\nabla u$ 是取代前述線狀彈簧振動系統的 $u_{n+1}(t)-u_n(t)$，這是在耦合系統中很容易出現的量。
在相對論性量子場論 (relativistic quantum field theory) 中，極值原理依然扮演核心的角色。此時，波振幅 $u(\mathbf{x},t)$ 是遍佈整個時空中的各種量子場 (quantum fields)。描述電子的狄拉克場 (Dirac field) $\psi$是一個旋量場 (spinor field)，而描述光子 (photon) 的電磁場 (electromagnetic field) 是四維向量勢 (four-vector potential) $A_\mu$。當只有光子場時，拉氏函數密度是
其中 $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ 是電磁場張量 (electromagnetic field tensor)。只要將這個 $\mathcal{L}$ 代入 (6) 式的作用量極值條件，便可以推導出在沒有電荷與電流時的無源 (source less) 馬克士威方程組 (Maxwell’s equations)。更進一步，當需要同時考慮電子與光子的交互作用時，就要將拉氏函數密度 $\mathcal{L}$ 改為
上式等號後的第一項 $\bar{\psi}\left(i\gamma^\mu D_\mu-m\right)\psi$ 可寫成
將其代入 (6) 式，得到的就是電磁場存在時的狄拉克方程式 (Dirac equation)，其中的 $-eA_\mu\bar{\psi}\gamma^\mu\psi=J^\mu A_\mu$ 描述的是電子與光子 (或是狄拉克場與電磁場) 的交互作用項。事實上，(9) 式描述的只是被電磁場作用的電子，而 (8) 式描述的才是電子與光子同時存在，且彼此有交互作用的量子電動力學 (Quantum Electrodynamics, QED) 系統。需要注意的是，將 (8) 式代入極值條件所得到的狄拉克方程式與馬克士威方程式其實是古典 (classical) 的，並不真正描述 QED 中那些包含粒子-反粒子的產生 (creation) 與湮滅 (annihilation) 的量子現象。必須再將 $\psi$ 與 $A_\mu$ 改成算符，或是利用費曼路徑積分考慮各種取值的 $\psi$ 與 $A_\mu$ 以及它們所對應的作用量相位因子並疊加，才會得到真正的 QED 描述。
極值原理的一個重要優點，在於它往往比直接猜測運動方程式更系統化。這是因為拉氏函數本身通常具備系統最基本的對稱性 (symmetry)，而根據諾特定理 (Noether's theorem)，每一種連續對稱性都對應著某種守恆律。這表示使用拉氏函數會比使用運動方程式更容易推導守恆律並理解它們的來源。例如：時間平移對稱性對應能量守恆；空間平移對稱性對應動量守恆；空間旋轉對稱性對應角動量守恆；而電磁學中的規範對稱性 (gauge symmetry) 則對應電荷守恆。在現代物理中，物理學家常不是直接去猜測方程式，而是根據系統應該具有的對稱性去設法寫出符合這些對稱性的拉氏函數。只要拉氏函數或作用量被決定了，後續的運動方程式與守恆律便能自然地由極值原理導出，而要構造理論的量子版本，也有現成的程序可以遵循。這種思想在二十世紀後半的高能粒子物理中極為成功。今日所謂的標準模型 (Standard Model)，其核心其實就是具有高度對稱性的拉氏函數。從中不但可以推導出已知粒子的交互作用形式，甚至還能預測新粒子的存在。例如，希格斯粒子 (Higgs boson) 的存在，便是先在理論上提出，而後才由大型強子對撞機 (LHC) 的實驗加以驗證的。從這個角度來看，極值原理真正迷人的地方，不在於它能重寫物理定律，而是它常能為「發現新定律」指引方向。許多表面上不同的物理現象，都可以藉由它用統一的數學語言連結起來，也讓物理學家能透過對稱性與結構美感，去探索尚未被觀察到的新物理。
有趣的是，類似的思想甚至也出現在統計力學 (statistical mechanics) 中。在統計力學裡，我們考慮的不是單一粒子的運動，而是大量粒子的整體統計行為。當系統達到熱平衡時，其機率分布並不是任意的，而是由某種極值條件決定的。例如，在固定粒子數與總能量平均值的條件下，若要求系統的熵 (entropy)
$S=-k_B\sum_i p_i\ln p_i$
達到最大值，就可以推導出波茲曼分布 (Boltzmann distribution)
$p_i\propto e^{-E_i/k_BT}$
這裡的最大熵原理 (maximum entropy principle)，其實也是一種極值原理。它告訴我們在已知的限制條件 (constraints) 下，自然界最可能呈現的分布就是對應於熵最大的那個分布。
從古典力學中的最小作用量原理，到廣義相對論中的最長原時原理；從量子場論中的作用量與對稱性，到統計力學中的最大熵原理，我們會發現「極值」概念反覆出現在物理學不同領域的深層結構之中。它反映的並不是自然界真的具有某種目的性，而更像是一種普適性 (universal) 的數學原則，用來描述自然界在因果律、機率與對稱性限制下所呈現出的最可能的規律。
